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Théories de l’approximation et calculs limités

Développements limités

On dit qu’une fonction f, Cnn+1 de A vers R admet un développement limité d’ordre N au voisinage de x0 appartenant à A, noté DJn(x)(f). S’il existe un polynôme PN d’ordre inférieur ou égal à n et une fonction qui vérifient

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Existence et unité du DLn(x)f

Existence

Montrons qu’une fonction f de classe CN+1[a+b] peut s’écrire sous forme polynomiale: f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)N+RN(x) où RN(x) est l’erreur d’approximation.
RN(x0)=0 on aura:

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(3) est le polynôme de Taylor de f lorsque x0=0, c’est la formule de MacLaurin très utilisée dans les calculs de limites.

Unicité

Supposons que f admettent deux DLn(x0):
DLx1(x0)(f): Qn(x) + Rn(x) = q0 + q1(x-x0) + q2(x-x0)2 + … + qn(x-x0)n + Rn(x) = f(x)
DLx2(x0)(f) : Zn(x) + Pn(x) = Z0 + Z1(x-x0) + Z2(x-x0) + … + Zn(x-x0)n + Pn(x) = f(x)
En utilisant de proche en proche les dérivées successives f(N)(x0), on montre facilement que (q0=Z0; q1=Z1; q2=Z2; …; qn=Zn) Rn=Qn.

Formule du reste Rn(x)

Si la partie régulière du DLn(x0)(ƒ) s’écrit:

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Exercice:

Déterminez le DL4(x0=0) : x → ex
Déterminez le DL2(x0=0) : x→ Cos(xe-x)
Déterminez le DL2(x →) : x→ ln(x+1)/Sh(x)
(Indication: Sh(x)=(ex-e-x)/2 )

Résolution:

f(x) = ex
f'(x) = ex
f »(x) = ex
f »‘(x) = ex
fN(x) = ex

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Ce DL4 permet d’étudier le comportement de x → ex au voisinage de 0

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Développement en série entière d’une fonction

Soit f une fonction de classe C [a, b], on montre que si:

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Opération sur les développements limités

Supposons deux fonctions f et g Ck[a,b] et x0 appartenant à ]a,b[
DLN(x0)(f+g) = DLN(x0)(f) + DLN(g)
DLN(x0)(f.g) = DLN(x0)(f).DLN(x0)(g)
DLN(x0)(f/g) = DLN(x0)(f)/DLN(x0)(g)
DLN(x0)(fog) = DLNf[DLN(x)g]

Application à l’étude des positions dans le plan

Soit f une fonction définie sur [a, b] et x0 appartenant à ]a, b[. On suppose que f est Ck[a,b] avec k supérieur ou égale à 2

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Position relative d la courbe de f: Cf

Supposons que T est la tangente à Cf au voisinage de x0, l’équation de T est yT=a0+a1(x-x0).
La position de Cf par rapport à T sera donnée par le terme de la partie régulière de (1)

Si k est pair

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Si k est impair

Les positions de (Cf) par rapport à T varient avec le signe de ak(x-x0)k.

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Exercice:

Montrez qu’on peut développer en série entière la fonction x→3x


Calcul des limites

Principaux développement en série entière de fonction classiques: au voisinage de x0=0

x→ex = 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + … + xK/K! + …

x→Cos(x) = 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! + … + (-1)px2p/2p! + …
x→Sin(x) = x – x3/3! + x5/5! – x7/7! + … + (-1)p+1x2p+1/(2P+1)! + …

x→Ch(x) = 1 + x2/2! + x4/4! + x6/6! + … + x2P/2P! + …
x-→Sh(x) = x + x3/3! + x5/5! + x7/7! + … + (-1)P+1x2P+1/(2P+1)! + …

Ln(1+x) = x – x2/2 + x3/3 – x4/4 + … + (-1)P+1xP/P + …
Arct(x) = x – x3/3 + x5/5 – x7/7 + … + (-1)P+1x2P+1/(2P+1) + …

Valeur approchées à 10-P près

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Formule d’interpolation

Interpolation d’équation simple

Soient y0, y1, y2, … yn les valeurs prises par une certaines fonctions y=f(x) lorsque x prend les valeurs respectives x0, x1, x2, … xn équidistantes.
x1-x0=x2-x1=…=xn-xn-1=H constante
de plus y1-y0=D0; Y2-Y1=D1…; yn-yn-1=Dn-1
Alors si y et x sont tels que (xi<x<xi+1) et (yi<y<yi+1) on montre que:

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Démonstration:

Donnons l’expression complète de y0, y1, …, yn en fonction de Di
D0=y1-y0; D02=D1-D0=(y2-y1)-(y1-y0)=y2-2y1+y0
Remplaçons y2 et y0 par leur expression en fonction de y0
D1-D0=y2-2(y0+D0)+y0
D1-D0=y2-y0-2D0
y2=(D1-D0)+y02D0
y2=D02+y0+2D0 (1)

Ecrivons x1, x2, …, xn eb fonction de H
x1-x0=H ; x1=x0+H
x2-x0=2H ; x2=x0+2H
xn-x0=nH ; xn=x0+nH
(2) H=x1-x0=(x2-x0)/2=…=(xn-x0)/n Sachant que 2=(x2-x0)/H
(1) devient Y2=D02 + y0 + D0(x0-x0)/H or d’après (2)
2=(x2-x0)/H ; 1=(x2-x0)/2H
de même x1=x2-H et 1=(x1-x0)/H et on a:
y2 = y0 + (x2-x0D0/H + (x2-x0)(x2-x0-H)D02/2H2

Polynôme d’Interpolation de Lagrange

Etant donné (n+1) couple (a0,;b0), (a1,b1), … (n,bn) tel que b0=f(a0), b1=f(a1),…bn=f(an)
On désire trouver un polynôme Pk de degré k qui vérifie (E).
Le mathématicien Lagrange a montré qu’un tel polynôme existe et que k=n

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Exercice:

Soit les couples A(0,2); B(-1,2) et C(1,4) déterminez le polynôme de Lagrange dont la courbe passe par A, B et C

Solution:

a0=0 ; b0=2
a1=1 ; b1=2
a2=1 ; b2=4
b0(x-a1)(x-a2)/(a0-a1)(a0-a2) + b1(x-a0)(x-a2)/(a1-a0)(a1-a2)
P2(x) = x2 + x + 2
P(0) = 2
P(-1) = 2
P(1) = 4

Polynôme de Lagrange: cas des fractions rationnelles

Soit T(x)=f(x)/g(x) avec degré f(x) < degré g(x)
Alors U0, U1, U2, …, Un sont des racines simples de g(x) et si de plus

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2 décembre 2021
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