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Systèmes linaires

Soit e(t) un signal d’entrée, s(t) un signal de sortie d’un système électronique. Supposons s1(t) et s2(t) des signaux de sortie correspondant aux signaux d’entrée e1(t) et e2(t).
Soient données T1 et T2 deux nombres algébrique, le système sera linéaire si au signal d’entrée
T1e1(t)+T2e2(t) ↔ T1s1(t)+T2s2(t)


Notion de dipôle

Le dipôle constitue l’élément le plus simple du circuit électronique, certains systèmes comprendront deux bornes à savoir une pour l’entrée et une pour la sortie.

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Il est parcouru par un courant I. Il est soumis à une différence de potentielle V=VA-VB entre A et B.

A: entrée du courant.
B: Sortie du courant.
Faisant varier le courant I, le potentiel VC aux bornes du dipôle varie. On eut donc tracer la courbe de variation I=ƒ(V) appelée courbe de caractéristique du dipôle.

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Point de polarisation du dipôle

Le dipôle associé à une source extérieure E et à une résistance R est traversé par un courant I0. La tension en ce point est V0, le point M caractérisé par le courant I0 et la tension V0 est appelée point de polarisation. Le point de fonctionnement se trouve à l’intersection de la caractéristique I=f(V) et de la droite d’équation I=-V/R+V/R, cette droite est obtenue par application de la loi d’ohm aux bornes de la résistance R ou droite appelée droite de charge.

Variation du point de fonctionnement

Toutes variation de la source E entraîne une variation du point de fonctionnement. Pour de faibles variations DE de E. On pourra assimiler la courbe de caractéristique à sa tangente au point M.


Distorsion: cause de non linéarité série de Fourrier

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Les variations de la source E interviennent dans la mise en série d’une source e(t) associée à E. La deuxième source e(t) généralement sinusoïdale de pulsation ω, introduit aux bornes du dipôle des variations également sinusoïdales de fréquence multiples de ω. La plus faible étant appelée la fondamentale et égale à ou encore harmonique de rang 1 ou d’ordre 1. Ce phénomène se produit quant on s’écarte de la tangente de linéarité donnant naissance à des fonctions périodiques, satisfaisant aux conditions de Fourrier.
Les signaux rencontrés dans les systèmes électroniques sont généralement des tensions ou des courant de forme carrée, rectangulaire, triangulaire… ces fonctions seront généralement périodiques donc décomposable en série de Fourrier. L’étude d’un amplificateur passera alors à trois étapes:

  • Définition d’un point de fonctionnement satisfaisant.
  • Variation de ce point dans un domaine linéaire.
  • Etude de la distorsion apportée par les éléments non linéaires du montage.

Les quadripôles

A des rares exceptions près le dipôle ne peut pas jouer un rôle de circuit de commande car il n’a qu’un seul accès. Cette fonction sera effectuée par un plus complexe appelé quadripôle.

Un quadripôle est un réseau comportant deux bornes d’entrée et deux bornes de sortie:

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On note i1 et i2 les courants d’entrée et de sortie de même v1 et v2 tension d’entrée e de sortie. Le courant qui entre parmi les bornes d’entrée est égal au courant qui sort par l’autre borne de la même entrée de même pour la sortie. On adopte donc la convention des signes tel que indiqués sur le schéma. Cas particulier à retenir est celui où les bornes « 1 » et « 2 » sont confondues. On parle alors quadripôle. D’autre part un quadripôle peut être considéré comme association de deux dipôles dépendant l’un de l’autre. Ainsi la caractéristique d’entrée i1=ƒ(v1) dépend de l’état dans lequel se trouve la sortie et réciproquement. Ce qui donne alors deux relations: i1=f(v1,i2,v2) ; i2=f(v2,i1,v1)

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En général ces relations ne sont pas linéaires, encore moins exprimables algébriquement. Dans la pratique le comportement du quadripôle sera représenté par un double réseau de caractéristique à savoir:

  1. Un réseau d’entrée: formé de plusieurs courbes i1=ƒ(v1) tracé chacune pour une des valeurs d’une des grandeurs de sortie i2 ou v2 constante.
  2. Un réseau de sortie: défini de la manière suivante i2=g(v2) pour v1=constante.

Le point de fonctionnement étant au tour de ce point dit point de repos sera supposé petit afin de satisfaire aux conditions de linéarisation du système.

Equation des quadripôles

Dans la recherche des variations des équations (1) et (2) utilisons la formule de TAYLOR limitée au premier ordre qui veut que:

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En basse fréquence on utilise souvent une représentation dite hybride avec les paramètres hij qui seront aussi des impédances que des admittances ou des nombres réels. Dans ce cas les équations du quadripôle s’écriront sous la forme:

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Puisque les variations sont faibles, on peut écrire simplement que le système (8) et (9) devient:

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Quadripôle en petits signaux

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Nous supposons que les tension et courant sont faibles pour permettre la linéarisation des signaux. Le quadripôle Q étant caractérisé par les paramètres hybrides hij, il est alimenté par une f.e.m sinusoïdale e(t) d’impédance Z1 et chargée par Z2. Les équations régissant du circuit sont:

  1. V1 = h11i1 + h12v2
  2. i2 = h21i1 + h22v2
  3. v1 = e(t) – Z1i1
  4. v2 = -Z1i2

Les paramètres hij sont les caractéristiques du quadripôle et sont donc fonction des éléments qui le compose. La méthode d’étude consistera à représenter Q par son schéma équivalent à partir des définitions du paramètre hij. A ce titre on rappelle que h11=(v1/i1)v2=cste ; h12=(v1/v2)i1=cste ; h21=(i2/i1)v2=cste ; h22=(i2/v2)i1=cste
On obtient donc le schéma équivalent suivant:

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A partir des expressions ci-dessus déterminons l’impédance d’entrée du quadripôle Z2=v1/i1
Dans (3) on a i2=-v2/z2 (5)
(5) dans (2) -v2/z2=h21i1+h22v2
v2=-h21i1/(1/z2+h22) (6)
(6) dans (1) donne:
ze=h11[1-h12h21/h11(h22+1/z2)]
L’impédance de sortie zs=v2/i2

(4) dans (1) donne
e(t)-z1i1=h11i1+h12v2 ↔ i1 = e(t)/(z1+h11) – h12/(z1+h11) (7)

(7) dans (2) donne
i2 = h21e(t)/(z1+h11) – h21h12v2/(z1+h11 + h22v2
v2=Þi2+v20 ; Þ=1/(h22-h21h12/(z1+h11)
Dans la recherche des impédances de sortie nous allons supposer l’entrée en court-circuit (v20=0)

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Dans le cas (a), on dira que le quadripôle a été attaqué par une source de tension.
Dans le cas (b) on dira que le quadripôle a été attaqué par une source de courant.
Le gain en tension sera Gv=v2/v1

28 novembre 2021
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