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Systèmes de numération et codes

Il existe plusieurs systèmes de numération en technologie numérique dont les plus courants sont:

  • Le système décimal ou base 10
  • Le système binaire ou base 2
  • Le système octal ou base 8
  • Le système hexadécimal ou base 16

Base d’un système de numération

La base d’un système de numérisation est le nombre d’élément qu’utilise ce système.
Exemple:

  • La base 2 utilise deux chiffres {0,1}
  • La base 10 utilise deux chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
  • La base n utilise n chiffres qui vont de 0 à n-1: {0, 1, 2…n-1}

Représentation sous la forme polynomiale

Tout nombre « X » écrit en base « b » peut être décomposé en puissance de b.
Exemple: Soit le nombre X1: (anan-1…a0a-1a-2…a-n)b
Ce nombre peut être décomposé en puissance de b de la manière suivante:
X1 = anbn + an-1bn + … + a0b0 + a-1b-1 + a2b2 + … + a-nb-n
Partie entière
Partie décimale

Exemple2:

X2 = (1984,34)10 = 1×103+9×102+8×101+4×100+3×10-1+4×10-2
X3 = (3725,401)8 = 3×83+7×82+2×81+2×80+4×8-1+0x8-2+1×8-3

Soit: X= anan-1…a1a0
« a0«  est le chiffre de rang zéro. On l’appelle aussi le chiffre le moins significatif.
« an«  est le chiffre de rang « n » ou le chiffre le plus significatif.

Exemple:

Le nombre N = 4783910
« 4 » est de rang 4 ou de poids 104
« 9 » est de rang 0 ou de poids 100
« 8 » est de rang 2 ou de poids 102

Etude de quelques bases

Base 2 (Système de numération binaire)

C’et la base la plus utilisée en électronique numérique, elle comporte deux chiffres 0 et 1 appelé bits.
Le chiffre le plus significatif est appelé bits de poids le plus fort MSB (Most Significant Bit).
Le chiffre me moins significatif est appelé bit de poids le plus faible LSB (Least Significant Bit).
Soit le nombre N = (1MSB 0 1 1 0 1 1LSB)2

Base 8 (Système de numération octal)

Cette base utilise 8 chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Exemple N = (3473,5)8

Base 16 (Système de numération hexadécimal)

Cette base utilise 16 éléments qui sont {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}
Avec

A = 10D = 13
B = 11E = 14
C = 12F = 15

Exemple:

N = (1F2)16

Conversion d’une base à une autre

Passage d’une base « b » différente de 10 à la base 10

Il s’agit simplement d’écrire le nombre à convertir sous la forme polynomiale dans sa base « b » puis d’effectuer les calculs pour obtenir la valeur en base 10.

Conversion binaire – décimale

Exemple 1:

Convertir le nombre X1=(1101)2

Résolution:

X1 = (1101)2 = 1×23 + 1×22 + 0x21 + 1×20 = 8 + 4 + 0 + 1
X1 = (1101)2 = (13)10

Exemple 2:

Convertir le nombre X2=(1001,101)2

Résolution:

X2 = (1001,101)2 = 1×23 + 0x22 + 0x20 + 1×2-1 + 0x2-2 + 1×2-3 = 9 + 0,5 + 0,125
X2 = (1001,101)2 = (9,625)10

Conversion octale – décimale

Exemple 1:

Convertir X1 = (342)3

Résolution:

X1 = 3×82 + 4×81 + 2×80 = 192 + 32 + 2 = 226
X1 = (342)8 = (226)10

Exemple 2:

Convertir X2 = (745,05)8

Résolution:

X2 = 7×82 + 4×81 + 2×80 + 0x8-1 = 448 + 32 + 2 + 0 + 0,078125
X2 = (742,05)8 = (482,078125)10

Conversion hexadécimale – décimale

Exemple 1:

X1 = (1F2) ? ( )10

Exemple 2:

X2 = (1AOB,CD)16 ? ( )10

Passage du décimal à la base « b »

Le principe ici consiste à effectuer des divisions successives du nombre décimal à convertir par la base « b »

Exemple 1:

Convertir le nombre (22)10 = ( )2

Résolution:

On retient le résultat final et les restes qui doivent toujours être inférieurs à la base « b »

00

Conversion d’une base a une autre différente de la base 10

Première méthode

Elle consiste à faire un passage par la base 10 en suite quitter de la base 10 à la base recherchée.
Exemple: Convertir (1101)2 = (?)8

  • Première opération:
    (1101)2 = (13)10
  • Deuxième opération:
    (13)10 = (15)8

(1101)2 = (15)8

Deuxième méthode:

Elle consiste à regrouper les bits par bloc de 4 à partir de la droite en suite convertir la valeur de chaque bloc en hexadécimal (cas de la conversion binaire hexadécimal).
Le regroupement se fera par bloc de 3 bits lorsqu’il s’agira de la conversion octale.

Tableaux des équivalences:

DécimalBinaireHexadécimal
000000
100011
200102
300113
401004
501015
601106
701117
810008
910019
101010A
111011B
121100C
131101D
141110E
151111F
DécimalBinaireOctal
00000
10011
20102
30113
41004
51015
61106
71117

Exercice 1:

Convertir en hexadécimal les nombres binaires suivants

01

Exercice 2:

Convertir en octal les nombres binaires suivants:

02

Conversion d’un nombre décimal ayant une partie décimale en binaire

Le principe de conversion de la partie entière ne change pas. La partie décimale se convertit par multiplication successive de cette dernière par la base « 2 ». On conservera à chaque fois la parie entière du résultat obtenu qui doit toujours être inférieure à la base « 2 ».
Exemples:
Convertir (13,25)10 = (?)2
(13)10 = (1101)2
0,25 x 2 = 0,5
0,5 x = 1 1
(0,25)10 = (0,01)2
(13,25)10 = (1101,01)2

Convertir (27,625)10 = (?)2
(27)10 = 11011
0,625 x 2 = 1,25
0,25 x 2 = 0,5
0,5 x 2 = 1
(0,625)10 = (101)2
(27,625)10 = (11011,101)2

Convertir (15,3)10 = (?)2
(15)10 = 1111
0,3 x 2 = 0,6
0,6 x 2 = 1,2
0,2 x 2 = 0,4
0,4 x 2 = 0,8
0,8 x 2 = 1,6
(15,3)10 = 1111,01001

En binaire on peut compter de 0 2N-1

Les codes

Un nombre ou caractère peut se présenter dans plusieurs codes. Les codes les plus utilisé sont:

  • Le code binaire pur
  • Le code binaire réfléchi (code Gray)
  • Le code DCB (Décimal Codé Binaire) ou BCD
  • Le code ASCII (Americain Standard Code for Information Interchange)

Le code DCB

C’est un code dans lequel chaque chiffre décimal est représenté par son équivalent binaire sur 4 bits.

Tableau de conversion DCB
DécimalDCB
00000
10001
20010
30011
40100
50101
60110
70111
81000
91001

Exemple:

Donner l’équivalent des nombres suivants en DCB.
N1 = (345)10 = (?)DCB
N2 = (984)10 = (?)DCB

N1 = (345)10
345= 0011 0100 0101
N1 = (345)10 = (001101000101)DCB

N2 = (984)10
984 = 1001 1000 0100
N2 (984)10 = (1001 1000 0100)DCB

Pour convertir un nombre d’une base « b » différente de la base 10 au DCB ou inversement, il faut faire un passage par la base 10

Exemple:

Conversion Binaire DCB
N1 = (1111)2 = (?)DCB
N2 = (101111)2 = (?)DCB

N1 = (1111)2 = (15)10 = (0001 0101)DCB
N2 = (101111)2 = (47)10 = (0100 0111)DCB

Code binaire réfléchi (ou code Gray)

C’est un code qui permet d’éviter les erreurs de transition lors des changements d’état en binaire. Dans ce code lors du passage d’un état à un autre un seul changement de valeur.

Correspondance Binaire Pur – Binaire réfléchi
DécimalBinaire PurBinaire réfléchi
 2323212223222120
000000000
100010001
200100011
300110010
401000110
501010111
601100101
701110100
810001100
910011101
1010101111
1110111110
1211001010
1311011011
1411101001
1511111000

Code ASCII

Le code utilisé par la majorité des ordinateurs pour reconnaître les caractères (lettres, chiffres, symboles) est le code ASCII, on l’appelle aussi code alpha numérique.
Le code ASCII à 7 bits permet de coder 27 = 128 caractères.

CaractèresCode ASCIIEquivalent
OctalHexadécimal
1011 000106131
A100 000110141
D100 010010444
K100 10111134B
Blanc010 000004020
Retour000 11010150D
28 novembre 2021
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