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Série

Série numérique

Soit (Un)n une suite numérique et (Sn)n la suite des sommes partielles de (Un)n
S1 = U
S2 = U1 + U2
S3 = U1 + U2 + U3
Sp = U1 + U2 + … + Up

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Convergence d’une série

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Quelques critères de convergence

Condition nécessaire de convergence

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Critère suffisant de convergence

Critère de Alembert

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Exemple:

Donnez la nature de la série

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La série converge.

Critère de Cauchy

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Exemple:

Donnez la nature de la série

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Convergence d’une série (Sn)n de Cauchy

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(Sn)n st dite série de Cauchy, elle est convergente.

Critère de convergence de Leibniz

On appelle série alternée, une série de la forme U1-U2+U3+U4-U5-U6+…+(-1)n-1Un+… (E) où les Ui sont tous positifs.
Alors le critère de Leibniz:

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Exemple: Etudiez la convergence de la série:
1/2 – 2/(22+1) + 3/(32+1) – 4/(42+1) + …

Autres propriétés

Critère de comparaison

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Convergence absolue / Semi convergence

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Combinaisons de série

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Exercice:

  1. Déterminez pour quelle(s) valeur(s) de x, la série S(x) est convergente.
    S(x) = 1 + e-x + e-2x + e-3x
    S(x)=limSk(x)
  2. Calculez la somme de la série 1/1.3 + 1/3.5 + 1/5.7 + 1/5.7 + 1/7.9 + …
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Séries de fonctions

On a appelle série de fonctions, une série de la forme f0(x) +f1(x) +f2(x) +…+fx(x) +…. où les f(x) sont des fonctions continues sur un domaine D.

Domaine de convergence

L’ensemble D des valeurs de x pour lesquelles la série f0(x) +f1(x) +f2(x) +…+fx(x) +…. converge est appelé domaine de convergence de la série.

Convergence uniforme

Dans la suite on considère que

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Nous allons définir la notion de convergence uniforme (a) différente de la convergence simple (b) avec b→b

Définition

Une série de fonction simplement convergente est dite uniformément convergente sur un domaine D si

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Il existe un autre entier suffisant.

Critère de convergence de Weierstrass

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2 décembre 2021
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