Série numérique

Soit (U_n)_n une suite numérique et (S_n)_n la suite des sommes partielles de (U_n)_n
S₁ = U
S₂ = U₁ + U₂
S₃ = U₁ + U₂ + U₃
S_p = U₁ + U₂ + … + U_p

Convergence d’une série

Quelques critères de convergence

Condition nécessaire de convergence

Critère suffisant de convergence

Critère de Alembert

Exemple:

Donnez la nature de la série

La série converge.

Critère de Cauchy

Exemple:

Donnez la nature de la série

Convergence d’une série (S_n)_n de Cauchy

(S_n)_n st dite série de Cauchy, elle est convergente.

Critère de convergence de Leibniz

On appelle série alternée, une série de la forme U₁-U₂+U₃+U₄-U₅-U₆+…+(-1)^n-1U_n+… (E) où les U_i sont tous positifs.
Alors le critère de Leibniz:

Exemple: Etudiez la convergence de la série:
1/2 – 2/(2²+1) + 3/(3²+1) – 4/(4²+1) + …

Autres propriétés

Critère de comparaison

Convergence absolue / Semi convergence

Combinaisons de série

Exercice:

1. Déterminez pour quelle(s) valeur(s) de x, la série S(x) est convergente.
   S(x) = 1 + e^-x + e^-2x + e^-3x
   S_(x)=limS_k(x)
2. Calculez la somme de la série 1/1.3 + 1/3.5 + 1/5.7 + 1/5.7 + 1/7.9 + …

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Séries de fonctions

On a appelle série de fonctions, une série de la forme f₀(x) +f₁(x) +f₂(x) +…+f_x(x) +…. où les f(x) sont des fonctions continues sur un domaine D.

Domaine de convergence

L’ensemble D des valeurs de x pour lesquelles la série f₀(x) +f₁(x) +f₂(x) +…+f_x(x) +…. converge est appelé domaine de convergence de la série.

Convergence uniforme

Dans la suite on considère que

Nous allons définir la notion de convergence uniforme (a) différente de la convergence simple (b) avec b→b

Définition

Une série de fonction simplement convergente est dite uniformément convergente sur un domaine D si

Il existe un autre entier suffisant.

Critère de convergence de Weierstrass