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Réseaux linéaires en régime transitoire

Préambule

Dans ce cours nous nous proposons d’étudier les réponses de quelques circuits simples à une excitation sous forme d’un échelon.


Réponse d’un circuit à une excitation

Considérons un circuit à priori quelconque soumis à une excitation a(t). Cette excitation peut être une excitation en tension exercée par un générateur de tension convenable ou une excitation en courant exercée alors par un générateur de courant. Le circuit réagit à l’excitation et l’on appelle réponse du circuit une grandeur physique r(t) déterminée: tension ou courant mesuré en un pont du circuit. Nous allons examiner successivement les deux types de tension.


Echelon de tension

Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension

Considérons le circuit suivant et supposons qu’à l’instant t=0 on ferme l’interrupteur K, le condensateur C étant initialement non chargé.

163
La réponse étudiée est la tension v(t) aux bornes du condensateur, où l’intensité I traversant le circuit. Par application des lois des mailles on obtient:

164
On définit la constante égale à RC comme la constante de temps du circuit:

165

Réponse en tension

166

Réponse en courant

167

Bilan énergétique

Entre les instants 0 et t1>0, le générateur fournit l’énergie Wg telle que:

168
L’énergie dissipée dans R sous forme de chaleur est:

169
L’énergie électrique emmagasinée en C est:

170

Réponse d’un circuit RL à un échelon de tension

Considérons le circuit suivant:

171
L’excitation a(t) est encore l’échelon de tension et nous nous intéressons à la réponse i(t), intensité du courant parcourant le circuit.

Réponse du circuit.

172
On définit la constante de temps du circuit:

173

Bilan énergétique

Entre les instants 0 et t1 (t1>0), le générateur fournit l’énergie:

174
L’énergie dissipée dans R sous forme de chaleur est:

175
L’énergie électromagnétique emmagasinée dans la bobine L est:

176

Réponse d’un circuit RLC à un échelon de tension

Considérons le circuit suivant:

177
A l’instant t=0 on ferme l’interrupteur K et on étudie la réponse v(t) aux bornes du condensateur C du circuit.

Réponse du circuit

On peut écrire l’équation différentielle du circuit:

174
La solution générale de cette équation avec second membre est la somme de l’équation sans second membre et de la solution particulière avec second membre. Cette solution particulière est telle que v=at+b ; v’=a ; V »=0
Recherchons maintenant la forme des solutions de l’équation sans second membre:

179
Les solutions de l’équation caractéristiques sont:

180
La solution générale de l’équation sans second membre est:

181
La solution générale de l’équation avec second membre est:

182
RC est la résistance critique.
La solution générale de l’équation sans second membre est alors:

183
La solution générale de l’équation avec second membre s’écrit:

184
La solution générale de l’équation sans second membre est:

185
La solution générale de l’équation avec second membre est:

186
La solution générale avec second membre est:

187
2 décembre 2021
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