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Rappels mathématiques

Rappel sur l’espace R3

On confond l’espace géométrique à l’ensemble R3 des triplets (x, y, z) de réels.
En effet munit l’espace d’un repère orthonormé direct (o, i, j, k). Chaque point M(x, y, z) est tel que

00
Soit un point M qui fait un déplacement élémentaire et devient M’.

01

Produit scalaire

02

Produit vectoriel

Soient U et V deux vecteurs de l’espace, le produit vectoriel est tel que:

03

Volume:

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Fonctions à plusieurs variables

Généralités

Il s’agit de fonctions de Rn→R avec n appartenant à N et n supérieur ou égale à 2.
(x1, x2,…xn)→ƒ(x1, x2,…,xn)
On parle encore de champ scalaire sur Rn.

Exemple 1:

f: R2→R
f(x,y) = x2ey champ scalaire défini sur le plan R2

Exemple 2:

Un émetteur d’onde placé au point O produit une onde donc l’effet est mesurable en chaque point M(x,y,z) de l’espace à la date t par la fonction

05
On a une fonction à 4 variables:
µ = µ(M,t) ; M(x,y,z)
Considérons un cône de directrice x et de rayon de base y. Exprimons v volume du cône en fonction de x et y préciser l’ensemble de définition de v.

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Surface de niveau

Activité:

f: IR3 → IR ; ƒ(x,y,z) = 2x+y-z
Pour toute constante k l’équation cartésienne d’un plan de l’espace. Ce plan est une surface de niveau k associée à la fonction f. En général, une surface k (k appartenant à K) est une surface d’équation ƒ(x,y,z)=k.

Exemple:

ƒ(x, y, z) = x2+y2+z2 = 0 ; k=0 ; r>0
On a la sphère S[o(0;0;0), rayon r]

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Courbe de niveau

ƒ: IR2 → IR
Une courbe de niveau k associée à f et d’équation f(x,y)=k

Exemple:

ƒ(x,y)= x2/a2 + y2/b2
ƒ(x,y) = 1 ↔ x2 /a2 + y2/b2 = 1 ; a>0 ; b>0
C’est un ellipse.

08

Exercice:

µ(x,y) → ArcSin(y/x)
Trouvez µ(1,-2).
Déterminez Dµ l’ensemble de définition de µ.

Continuité

M(x0, y0, z0) est un point de l’ensemble de f, f est en

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Topologie R3

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Tout polynôme à plusieurs variables est continu sur son ensemble de définition.

Exemple:

P=xy3z+4x2yz23

Toute fraction rationnelle est continue. La composée de fonction continue est continue.

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Proposition:

Si ƒ est continuée sur le pavé r = [a,b]*[c,d]*[e,k] alors f est bornée sur r et atteint ses bornes:

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Dérivées partielles

Considérons un champ scalaire ou une fonction à 3 variables coordonnées d’un point de l’espace.
µ: M(x, y, z) → µ(M) = µ(x, y, z)
En fixant 2 variables, par exemple:
y = y0 = constante
z = z0 = constante
On obtient une fonction à une variable x. Si cette fonction à une variable est dérivable alors sa dérivée est encore la dérivée partielle de µ par rapport à la variable x. On écrit :

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Exercices

Exercice 1:

Trouvez V la fonction x et y telle que:

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Exercice 2:

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Différentielle: Opérateur gradient

Considérons une fonction définie sur une partie ouverte non vide de R3 µ:r→R
La différentielle de µ au point M0(x0,y0,z0) est la variation de µ lorsque M0 passe de M0 avec:

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Opérateur Nabla

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Gradient:

Le gradient de U est le champ de vecteur

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Plan tangent à une surface

Considérons la surface d’équation U(x, y, z)=c où c=constante.
Soit M0(x0, y0, z0) un point de cette surface. Le plan tangent à la surface ci-dessus au point M0 est le plan passant par M0 du vecteur normal.

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Dérivée dans une direction

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Propriétés des différentielles

u et v sont deux fonctions scalaires:

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Différentielle totale

Forme différentielle: Cas de deux variables x et y

Il s’agit de la forme W=Pdx+Qdy où P et Q sont des fonctions de x et y.

Exemple:

W = 2x2dx + 4ln(y)dy

Forme différentielle: cas de trois variables x, y, z

On a ici la forme différentielle W=Pdx+Qdy+Rdz où P, Q, R sont des fonctions de x, y, z.
Une forme différentielle est dite exacte ou totale lorsqu’elle représente la différentielle d’une fonction scalaire.
W est exacte lorsqu’il existe une fonction scalaire f telle que df=W
Par exemple W=Pdx+Qdy+Rdz

22

Proposition:

23
f est un ensemble de fonction tel que dƒ=W

Exemple d’application:

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Formules d’analyse vectorielle

Un champ de vecteur est une fonction qui à chaque point M(x, y, z) associe un vecteur de l’espace.

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Où F1, F2, F3 sont des fonctions de x, y, z.

Exemples:

Champ magnétique dans la région r de E=R3

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Divergence

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Rotationnel

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Laplacien d’un champ de vecteur

29

Thème:

Soit F un champ de vecteur, on dit que F dérive d’un potentiel scalaire f lorsque Rot(F)=0.

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Transformation ponctuelle

Dans le plan

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Où u et v sont fonction de x et y.
La matrice Jacobienne de f est:

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Le Jacobien de la transformation est J=det(MJ)
On a donc dxdy=Jdudv

Exemple:

33

Dans l’espace (dim 3)

34

Exercice:

f(x, y, z) = (3x2+y, x-y2+z, 3z2)

Trouvez l’ensemble S des points M tels que le Jacobien de f en M soit non nul.

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2 décembre 2021
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