Produit scalaire

Définition et première propriété

Définition du produit scalaire de 2 vecteurs

Soit u et v deux vecteurs. On appelle produit scalaire de u par v le nombre réel défini par:

Propriété:

Carré scalaire

u.v est appelé carré scalaire de u

Interprétation géométrique, produit scalaire

Propriété:

Pour tout point A, B, C tel que A différent de B on a:

Remarque:

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Propriétés du produit scalaire

Vecteurs orthogonaux

Propriété:

Pour tout vecteur u et v on a:
u.v=0

Conséquence de la propriété

Règles de calcul

Pour tous vecteur u, v, u’, v’ et tout nombre réel λ on a:

Autre expression du produit scalaire

Pour tout vecteur u et v on a:

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Relation métrique dans un triangle

Relation métrique caractérisant un triangle rectangle

On sait que si le triangle ABC est rectangle en A alors BC²=AB²+AC² (théorème de Pythagore).
Soit ABC un triangle, H est le projeté orthogonal de A sur (BC). Les énoncés suivants sont équivalents

Théorème d’AKASHI;

Soit ABC un triangle quelconque.

On pose a=BC ; b=AC ; c=AB
On a: a² = b² + c² – 2bcCosÂ

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Forme analytique du produit scalaire

Expression dans une base orthonormée

Conséquence