Définition et première propriété
Définition du produit scalaire de 2 vecteurs
Soit u et v deux vecteurs. On appelle produit scalaire de u par v le nombre réel défini par:

Propriété:

Carré scalaire
u.v est appelé carré scalaire de u
Interprétation géométrique, produit scalaire
Propriété:
Pour tout point A, B, C tel que A différent de B on a:

Remarque:

Propriétés du produit scalaire
Vecteurs orthogonaux
Propriété:
Pour tout vecteur u et v on a:
u.v=0
Conséquence de la propriété

Règles de calcul
Pour tous vecteur u, v, u’, v’ et tout nombre réel λ on a:

Autre expression du produit scalaire
Pour tout vecteur u et v on a:

Relation métrique dans un triangle
Relation métrique caractérisant un triangle rectangle
On sait que si le triangle ABC est rectangle en A alors BC2=AB2+AC2 (théorème de Pythagore).
Soit ABC un triangle, H est le projeté orthogonal de A sur (BC). Les énoncés suivants sont équivalents

Théorème d’AKASHI;
Soit ABC un triangle quelconque.
On pose a=BC ; b=AC ; c=AB
On a: a2 = b2 + c2 – 2bcCosÂ
Forme analytique du produit scalaire
Expression dans une base orthonormée

Conséquence
