• Aucun article dans le panier.

Probabilités et statistiques : épreuves indépendantes et répétables

Elément d’analyse combinatoire

Considérons un ensemble de n éléments différents, un échantillon aléatoire a1, a2, … an de ces éléments seront appelés groupement.
Par exemple: Lorsqu’on jette une pièce de monnaie 10 fois, sa tombée du côté face (F) et du côté pille (P) peut donner le groupement suivant: FFFPPFPPP

Binôme de NEWTON

208

Loi binomiale : épreuve de BERNOUILLI

Si on effectue N épreuves indépendantes et si la probabilité de réalisation d’un événement A(succès) dans chacun de ces épreuves est invariable, égale à P. Alors la probabilité d’apparition n fois de l’événement A(en succès) dans ces m épreuves est donnée par la formule de BERNOULLI.

BN[m,p] = PN(m) = P(X=m)
CmNPmqN-m

Avec m: nombre de succès
P: probabilité de succès
N: nombre d’épreuve.
q=1-p est la probabilité d’un échec.

Exercice:

Une urne contient 30 boules: 20 blanches et 10 noires: L’expérience est la suivante:
On tire 4 boules suite (avec remise et brassage)

  1. Quelle est la probabilité pour que deux boules soient blanches?
  2. Quelle est la probabilité pour qu’au moins une boule tirée soit blanche?

Résolution:

209

  1. Soit Ai l’événement « obtenir i boules blanches en 4 épreuves »
    Soit E l’événement « obtenir au moins 1 boule blanche en 4 épreuves »
    Prob(E) = Prob(A1)+Prob(A2)+Prob(A3)+Prob(A4)
    Prob(A1) = C14p1q3 = (4)(2/3)1(1/3)3
    Prob(A2) = C24p2q2 = (6)(2/3)2(1/3)3(1/3)2
    Prob(A3) = C34p3q1 = (4)(2/3)3(1/3)1
    Prob(A4) = C44P4
    Prob(E) = 8/81 + 24/81 + 32/81 + 16/81 = 80/81

    Autre méthode:
    E (contraire de E) « Obtenir 0 boule en 4 épreuves »
    P(E) = 1 – P(E)
    P(E) = 1 – P(E)
    Calculons P(EU) = 1 – P(E)
    P(E) = 1 – P(E)
    Calculons P(E) = B4(0;2/3) = C04p0q4
    P(E) = (1)(1/3)4 = 1/81
    P(E) = 1 – 1/81
    P(E) = 80/81

Quel est le nombre d’apparition de la boule blanche dans une épreuve?

Nombre le plus favorisé

On définit le nombre le plus favorisé m0 d’apparition d’un « succès » au bout de N épreuves. Ce nombre m vérifie210

A la suite des observations entreprises pendant une période de temps prolongée, on a constaté que la probabilité que la pluie tombe dans une certaine ville est de 1/7.
Déterminez le nombre le plus favorisé le jour pluvieux le premier Octobre dans la ville donnée au cours de 40ans.
N=40 ; p=1/7 ; q=1-1/7=6/7
Résolution:211


Epreuve répétable avec N assez grand

Théorie de LAPLACE Local

Si le nombre d’épreuve N est grand, les calculs d’après la formule de BERNOIDE deviennent difficiles à réaliser. Le mathématicien LAPLACE a obtenu une formule approchée importante qui permet de calculer la probabilité BN(m,p) pour qu’un événement A se réalise exactement m fois lorsque N est suffisamment grand.

Probabilité de m succès au cours de N épreuves (N>>1)

212

Exercice:

La probabilité pour qu’un tireur atteigne le but en tirant un seul coup est P=0,2.
Quel est la probabilité pour que le but soit atteint 20 fois en 100 coups?

Résolution:

m=20 ; p=0,2 ; q=0,8 ; N=100213

Evénement accident loi de POISSON

Supons qu’on effectue N épreuves successives indépendante que la probabilité p de la réalisation d’un événement donné au cours de ces m épreuves dépendent de N.
Nous allons supposer par la suite que P⟶0 lorsque t tend vers l’infini (événement rare et accidentel).
Si de plus dans chaque série, la valeur moyenne µ du nombre de répétition de l’événement est constant, on pose µ=N.P=constante.214

Exercice:

Un central téléphonique automatique reçoit 300 appels par heure:

  1. Quelle est la probabilité que durant une minute donnée il reçoit exactement deux appels?
  2. Quelle est la probabilité qu’en une journée de 24h il reçoit exactement 10000 appels

Résolution:

  1. µ: moyenne des appels par minute de temps.
    300appel/1heure = 5appels/1minutes = µ
    m=2
    PN(2,9) = 52e-5/2! = (25)(0,0067)/2! = 0,084
    PN(2,p) = 0,084 = 8,4%
  2. m = 10000
    300 ⟶ 1h
    ? ⟶ 24h
    µ = 300 x 24 = 7200
    PN(10000,P) = 720010000e-7200/10000!

Exercice:

Un livre de 1000 pages contient 100 erreurs:

  1. Quelle est la probabilité de trouver exactement 3 erreurs sur 1 page au hasard?
  2. Quelle est la probabilité de trouver au moins 4 erreurs sur 1 page ouverte au hasard?

Résolution:

µ=0,1S/p ; m=3
PN=(3,p) = 0,13e-0,1/3! = 0,015%
PN(3,7) = 0,015%

  1. Soi E l’événement « au moins 4 erreurs su 1 page » et P(E) sa probabilité.
    E = « au plus 3 erreurs sur une page »
    E = « 0 erreur/page » ou « 1 erreur/page » ou « 2erreures/page » ou « 3erreures/page »
    P(E) = 1 – P(E)
    P(E) = 1 – P(E)
    P(E) = 3,846%
2 décembre 2021
© GoSukulu SARL. Tous droits réservés.
Ouvrir le chat
Besoin d'aide?
Salut👋,
Comment puis-je vous aider?