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Numérisation d’un signal analogique

Généralités

La valeur d’un signal analogique s’exprime en volt, c’est-à-dire c’est une tension variable et cette valeur peut changer à tout instant de manière continue. Un signal numérique en revanche, ce traduit par « 0 » et de « 1 », c’est un nombre binaire ou une collection de nombre binaire.

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La numérisation d’un signal consiste à convertir un signal analogique porteur de l’information porteur de l’information à une à une séquence à caractère discret issu d’un alphabet et qui sont les nombres. Cette conversion comporte 3 opérations fondamentales:

  • Echantillonnage
  • Quantification des échantillons obtenus
  • Le codage des échantillons quantifiés.
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Echantillonnage

L’échantillonnage consiste à prélever l’échantillon di signal analogique à un intervalle périodique. Tout se passe comme ci un interrupteur laisse passer le signal (interrupteur fermé) pendant Ø secondes et bloqué (interrupteur ouvert) pendant Te-Ø secondes au rythme d’une horloge de période Te.

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La période d’échantillonnage Te ne peut prendre une valeur quelconque car il faut prélever suffisamment les échantillons pour ne pas perdre l’information contenue dans le signal S(t).
Un théorème de Shannon permet de déterminer la fréquence d’échantillonnage minimale (également appelée fréquence Nyquist).

Théorème de Shannon

Fe min(Hz) est la valeur minimale théorique de fréquence d’échantillonnage valant au minimum deux fois la fréquence maximale du spectre du signal à échantillonner.
Soit S(t) un signal donc le spectre est à bande limitée [-B;+B], S(t) peut être reconstitué à partir de ces échantillons Se(Te), à condition que Te soit supérieur ou égale à 2B.
Supposons que le spectre audible s’étend de 20Hz à 20KHz, la fréquence d’échantillonnage de sera au moins de 40KHz.  

Expression mathématique du signal échantillonné

Le signal échantillonné peut être considéré comme le produit du signal analogique par un signal périodique avec une période de Te (h(t)).

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Se(t)=S(t).h(t)
On peut donc remarquer que l’échantillonnage équivalent à une modulation du signal S(t) par un train d’impulsion d’amplitude 1 d’où le nom Pulse Amplitude Modulation (PAM).

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Quantification

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Une fois que l’amplitude du signal a été échantillonnée et qu’une valeur a été obtenue, l’étape suivante ayant pour but de réduire cette valeur à une forme numérique consiste à quantifier cette valeur en l’arrondissant à l’unité la plus proche sur une échelle de mesure étudiée spécialement.
La conversion analogique numérique implique également après échantillonnage une opération qui consiste à remplacer la valeur exacte analogique (PAM) MIC de l’échantillon par la plus proche valeur approximative extraite d’un ensemble fini. Cette opération s’appelle la quantification.
Par exemple supposons que la différence entre l’amplitude maximale possible ou admissible et l’amplitude minimale (habituellement zéro) soit définie et que cette différence soit alors divisée en 10 parties égaux. Chaque échantillon est alors arrondi au plus proche de ces 10 paliers et un nombre entre 1 et 10 enregistré.
Les suites d’échantillon ont aussi été réduites en des suites des nombres. Il est maintenant possible de parler d’information numérique. Pour cela la plage de conversion du signal est subdivisée en q intervalles. En essayant un signal de valeur xi lorsque l’amplitude appartenant à la plage.
Si la valeur du signal xi est médiane et maximale, on parle de quantification par arrondi et si xi est la valeur minimale, on parle de quantification par troncature.
Si l’intervalle de quantification est constant sur une plage de valeur allant de 0 à 2B alors la quantification est dite linéaire.

Les paramètres d’une quantification uniforme

Les paramètres d’une quantification uniforme sont:

  • q : le pas de quantification (Volt)
  • V : la plage de quantification (Volt)
  • B : nombre de bit de la représentation numérique

Nombre de valeur représentée : 2B = V/q
En conclusion, un signal quantifié évolue dans un continu mais ne peut prendre que de valeur de tension quantifiées.
Chaque valeur isolée est ensuite convertie en grandeur binaire. Il se pose alors le problème de la précision, chaque valeur échantillonnée sera approchée par la valeur la plus proche.

Bruit de quantification

La valeur exacte des différents échantillons n’est pas utilisée, on se contente de rapprocher chaque échantillon à une échelle de 2B niveaux appelés échelle de quantification. Il n’y a donc qu’un ensemble de 2B possible pour les échantillons quantifiés. L’erreur systématique que l’on connaît en assimilant la valeur réelle de l’échantillon au niveau de la quantification la plus proche est appelée bruit de quantification. Ce bruit de quantification est déterminé par:

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Exemple:

Un signal sinusoïdal avec une amplitude de 1v doit être quantifié avec un signal sur bruit (S/B)=50db.

  1. Combien faut-il d’intervalle de quantification?
  2. Combien de bit faut-il pour coder chaque échantillon?

Quantification non uniforme

Pour la modulation MIC, les chaînes de quantification sont à 256 niveaux. L’approximation de la courbe se fait à l’aide de la mise bout à bout de deux courbes élémentaires: Une partie linéaire et une partie logarithmique. Il faut remarquer que dans le cas de la quantification uniforme, le signal sur bruit (S/B)q est normalement faible pour les signaux de faible amplitude, mais élevé pour les signaux de forte amplitude.
Pour obtenir un S/B normal dans toute la plage, il faut choisir un pas de quantification qui est fonction du niveau du signal. On peut procéder de la manière suivante. Le signal est d’abord compressé avant d’être quantifié. Pratiquement deux lois dite « lois de compression » sont utilisées: La loi Américaine (µ) et la loi Européenne (A).

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Approximation de la loi A

Dans cette formule de la loi A, A=87,6 donne un décalage de 24db entre la loi A et la loi linéaire. La courbe symétrique par rapport à l’origine est approximée par une succession de 13 segments: la loi de compression à 13 segments.

Approximation de la loi µ

Le logarithme est approché par 15 segments, donc 7 pour la polarité positive et 7 pour la polarité négative et 1 segment commun pour les 2 polarités.
Les pentes de chaque segment sont dans une progression de géométrique de raison de ½.

Codage

Le codage consiste à représenter l’amplitude de chaque échantillon par un nombre binaire de bit. La suite de nombre binaire est ensuite transmise en série (un nombre par période d’échantillonnage).
On voit bien que pour traduire le plus fidèlement possible le signal analogique, il faudra prendre un très grand nombre de mesure.

1 décembre 2021
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