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Mesure des angles: équations et inéquations trigonométriques

Le cercle trigonométrique

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On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1

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Mesure des angles

La mesure en radian d’un angle Þ est tout réel x pour lequel on a O(x)=Þ

Théorème:

Soit Þ un angle et x une mesure de Þ, un réel x’ est une mesure de Þ si et seulement si il existe un entier relatif K tel que x’=x+2Kπ

Mesure principale d’un angle

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Mesure d’un angle en degré

Soit y une mesure en degré de l’angle Þ, x est une mesure en radian de l’angle Þ si et seulement si x=πy/180

Mesure d’un angle en grade

Soit y’ une mesure en grade de Þ, x est une mesure en radian Þ si et seulement si x=πy’/180


Equation trigonométrique

Formule de trigonométrie

Soient les nombres réels a, b
Cos(a-b) = Cosa.Cosb + Sina.Sinb
Cos(a+b) = Cosa.Cosb – Sina.Sinb
Sin(a-b) = Sina.Cosb – Sinb.Cosa
Sin(a+b) = Sina.Cosb + Sinb.Cosa
Cos2a = Cos2a – Sin2a
Sin2a = 2Sina.Cosa
Cos2a + Sin2a = 1
Sin2a = ½(1-Cos2a)
Cos2a = ½(1-Cos2a)


Equation Cosx=a (a appartenant à l’ensemble R)

L’ensemble des valeurs de la fonction cosinus est [-1; 1]

  • Si a n’appartient pas à [-1; 1], l’équation Cosx=a n’a pas de solution dans R
  • Si a appartient à [-1; 1], il existe au moins un réel x0 pour lequel Cosx0=a

Théorème:

Si a appartient à [-1; 1], il existe au moins un nombre α et si a est un nombre entier relatif donné, on a:

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Equation Sinx=b (b appartenant à l’ensemble R)

L’ensemble des valeurs de la fonction sinus est le segment [-1; 1]

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Equation tanx=c (c appartenant à l’ensemble R)

Théorème:

Quelque soit le nombre réel donné, il existe au moins un réel α tel que

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Equation aCosx+bSinx+c=0

Transformation de aCosx+bSinx

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Résolution de l’équation aCosx+bSinx+c=0

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Inéquations trigonométriques

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2 décembre 2021
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