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Mathématiques du signal

Transformée en Z

Signal échantillonné

Soit x(t) une fonction vérifiant les conditions de Dirichlet, l’échantillonnage de x(t) est la fonction (confer figure 1)

196

Nous allons supposer sur R tout entier et que l’intégrale de x(t)dt converge.
Désignons par L(f(t)) la transformée de Laplace de f(t) étendu sur ]-∞;+∞[

Définition

On distingue X(z) la transformée en z de x(t), alors:

197

Définition

Si x(t)=0 lorsque t<0 alors X(z) est la transformée de la Laplace discrète de E[x(t)].

198

Exercice:

Déterminez la transformée en z des systèmes suivants.

199

Transformée en Z inverse

La transformée inverse de X(z) obéit aux mêmes règles que la transformée de Laplace inverse. On utilise selon les cas, des règles de division des puissances ou du théorème de résidus.

Exemple

Si X(z) est polynôme en Z-N avec N inférieur à l’ infini, l’inverse est immédiat.

Exemple:

200

Si X(z) est une fraction en Z formule des résidus.

201

Exercices

  1. Déterminez X(z) qi x(t) est donné par la fonction en escalier (figure 1)
202
  1. Déterminez x1(t) si X(z) = (Z4-2Z2+1)/Z3

Transformée de Fourrier à cosinus (TFC) et à sinus (TFS)

Si f est une fonction transformable en série de Fourrier sur:

203

Transformée et parité de f

Si f est une fonction vérifiant la condition (C1) alors:

204

Si f vérifie (c1) et f impaire on aura:

205

Transformée en cosinus et en sinus

Les équations (2) et (3) précédents sont intéressantes, surtout lorsqu’il s’agit de convertir un signal temporel en un spectre fréquentiel. C’est pourquoi elles ont été utilisées même pour des fonctions ni paires ni impaires. On définit alors les transformée de Fourier en cosinus (TFC) et les transformées de Fourrier en sinus (TFS).

TFC/TFS

Si une fonction vérifie (c1) sur un intervalle [a, b], alors ses transformées en cosinus et en sinus existent et sont définies par:

206

Exercice

Soit la fonction h définie par:

207
2 décembre 2021
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