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Lignes de transmission

Généralités

La propagation des ondes électromagnétiques dans le vide est en général différente de celle dans les lignes de transmissions d’une manière générale. On note que même s’il est difficile de déterminer le potentiel unique entre deux points sur une ligne dans le cas d’onde électromagnétique venant dans le temps, en mode TEM on peut le faire établir un effet dans les cas suivants:

  • Le champ électrique est conservé sur toute ma surface plane transversale
  • Le champ magnétique satisfait aux conditions sur toute surface plane transversale

De ces résultats découlent plusieurs applications utiles avec les grandes similitudes par rapport à la propagation en espace libre d’onde plane à savoir:

  • Le calcul du coefficient de réflexion sur une charge donnée
  • Le calcul des impédances de charge sur le circuit en court circuit ou en circuit ouvert

Ligne de transmission sans pertes

Transmission d’une onde T.E.M sur une ligne sans perte

TEM (Ez = Hz = 0) dans la direction de propagation. On rappelle que les formes intégrales des équations d’Ampère et Faraday sont:

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(5) et (6) sont les résultats obtenus pour le cas statique par conséquent on a deux conclusions:

  1. E mode TEM est à flux conservateur satisfait un champ électromagnétique
  2. Champ magnétique sur n’importe quelle transverse xy

Nous pouvons donc appliquer ces deux importants résultats à une ligne de transmission en déterminant le champ en n’importe quelle point en z dans la ligne le long de tous chemin entre les conducteurs au point d’ordonnée z.

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De ce qui précède on peut considérer que le courant dans les deux conducteurs fait un champ magnétique en forme de spire faisant apparaitre l’inductance L à partir de laquelle on peut définir une inductance linéique.

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De même on peut déduire des éléments capacitifs linéiques

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Ces observations se justifient par le fait que le mode TEM satisfait aux conditions statiques impliquant une modélisation identique de cette ligne de transmission.

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Soit une ligne de transmission de longueur l, alimentée à une extrémité par un générateur de tension haute fréquence et fermée à l’autre extrémité sur une impédance ZR. En haute fréquence, la longueur l est plus grande devant la longueur d’onde.

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Pour faire l’étude de ces phénomènes, il convient d’adopter une modélisation de la ligne. Le model utilisé est un réseau qui comporte:

  • en série, une résistance R et une inductance L; pour représenter respectivement les pertes d’énergie active et réactrice dans les conducteurs de la ligne.
  • en parallèle, une conductance G et une capacité C pour représenter les pertes d’énergie actives et réactives dans les diélectriques de la ligne

On peut s’attendre à ce que la variation du courant et de tension au long de la ligne ne doivent pas être discontinue. Pour anticiper cette notion, nous allons supposer que les différents éléments élémentaires de la ligne deviennent de plus en plus petits. Tout en s’assurant que la somme de ces éléments infinitésimal donne la longueur totale de la ligne. On va dont écrire les expressions de V et de I de la manière suivante:

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Les systèmes des équations (10) a plusieurs solutions. En dérivant (10a) par rapport à z et (10b) par rapport à t on retrouve le même système des équations différentielles de deuxième ordre relatif à la propagation des ondes électromagnétiques plane dans le vide.

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Si nous écrivons l’équation (10 bis) on obtient l’équation pour la tension.

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Par le même raisonnement identique, on obtient l’équation pour le courant.

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Dans ces équations on peut remarquer que le produit LC a la dimension de l’inverse d’une vitesse au carrée.

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On peut démontrer que pour une ligne de transmission excitée par une onde TEM et émergé dans un milieu de caractéristique E et µ la relation suivante est respectée:

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Comme dans les ondes planes V+ et I+ sont reliées par les relations suivantes:

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En tant donné que Re = √(L/C) le système différentiel de 2e ordre de la propagation de l’onde se résout dans les cas où une onde se propage dans une seule direction si Zl = RC = √(L/C)

L’impédance caractéristique

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La discontinuité produite par ZL est toute à fait semblable à la réflexion de l’onde sur un obstacle tel que décrite par l’électromagnétisme.
Nous traduisons cette discontinuité en différents coefficients de réflexion de la tension aux bornes de RC.

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Si on remplace ce rapport au taux de réflexion aux expressions des courants et de tensions par l’équation (13)

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La propagation d’une onde TEM présente donc l’analogie très important avec la propagation de l’onde électromagnétique plane en incidence normale d’une région d’indicez n1, vers l’autre région avec indice n2 et on aurait.

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Nous allons maintenant nous intéresser aux valeurs des courants et tension, tout le long de la ligne.
Entre 0 < t < l/N sur la source, on a la seule tension et courant suivants:

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Au moment où le signal VS(t) atteint la charge à t=l/µ est réfléchi vers la source, cette réflexion vers la source se fait suivant le diviseur de tension RC/(RC+RS) et la même démarche utilisée précédente nous conduit à définir le coefficient de réflexion aux bornes de la source.

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La coexistence de l’onde incidence (celle qui est réfléchie sur la charge) et celle de l’onde réfléchie (celle envoyé vers la source) comme une onde composite que sera régulée par le coefficient de réflexion aux bornes de la charge d’une part et le coefficient de réflexion aux bornes de la source d’autre part comme étant la source des courants et des tensions à ces instants comptes des coefficients rs et rL.

Cas d’une excitation sinusoïdale sur une ligne sans perte (ω>>0)

Nous allons nous intéresser au cas où:

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Nous allons supposer que les effets transitoires ce sont estompés: nous avons dont en notation complexe:

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De l’équation (10) nous devront donc prouver que l’équation (25) est :

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On peut définir le coefficient de réflexion complexe qui est:

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En pratique pour z = l on va avoir l’expression (31). On peut remarquer ici l’analogie entre l’onde plane en indice normale, et la propagation en mode guidé d’une onde

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Le coefficient en tout point de la ligne peut être calculé en fonction de rL qu’est le coefficient de réflexion aux bornes de la charge, lequel peut être accordé par la relation:

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La relation (35) permet de déduire plusieurs résultats. D’abord de calculer l’impédance lorsque la ligne est court-circuitée.

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On peut tout de suite remarquer le comportement inductif ou capacitif de la ligne suivant que celui-ci estompe en ligne ouverte ou en court-circuit.
Il y a une relation d’une part entre Rc et Zin

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Si on désigne par Xin les impédances d’entrée réactive, on obtient les diagrammes suivants en fonction de la longueur de la ligne.

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On peut également observer que l’impédance d’entrée se reproduit identiquement à elle même

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Si nous prenons la valeur absolue de Id

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Si la ligne est chargée par ZL

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Dans le cas où Rc=ZL=0 la ligne est adaptée. Il n’y a pas de variation de courant ni de tension tout le long de la ligne.
Les expressions de Vd et Id exprimée en fonction de rL peuvent être représentée en fonction de d (distance) sur un diagramme de Grant en considérant la même vectorielle.

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  1. Ligne ouverte: A un quart d’onde une ligne ouverte, le comportement de la tension sur la ligne est court-circuité.
  2. Court-circuit: Au quart d’onde d’une ligne en court-circuit le courant est nul et vd est différent de zéro.
  3. Ligne chargée l’impédance ZL quelconque.

Ligne de transmission avec perte

Nous allons traiter maintenant le cas général d’une ligne avec pertes. Si nous sommes à un point z par rapport à l’origine et raisonnons sur l’élément compris entre z et z+ dz

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Soient v(z,t) et i(z,t) les valeurs complexes instantanées de la tension et du courant au point z. La variation de tension dv quant on se déplace de dz sur la ligne est égale à la somme:

  • de la variation de tension -Rdzi due à la résistance
  • de la variation de tension -Ldz due à l’inductance

Soit:

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La variation d’intensité de courant di quand on se déplace de dz sur la ligne est égale à la somme:

  • du courant s’écoulant par défaut d’isolement -Gdv
  • du courant s’écoulant par la capacité -Cdz

Soit :

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A partir de (1) et (2) on trouve facilement que i et v satisfaites les équations dites de télégraphistes.

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Si nous somme dans le régime sinusoïdal, alors les équations (1), (2), (3) et (4) deviennent:

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Les approximations dans les calculs des lignes de transmissions

Le cas des lignes à faibles pertes

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Notons que v est indépendant de la fréquence : un signal se propage donc sur la ligne sans distorsion.
D’après (12) et en négligeant RG, G2, on obtient:

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De plus si les pertes dans le diélectrique sont négligeables par rapport aux pertes dans les conducteurs, on supprime dans (13) et (16) le terme en G1.

Minimisation des pertes

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Expression de la tension du courant et de l’impédance

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On note les similitudes entre les lignes sans perte. Il y a donc 3 remarques:

  • Il y a apparition d’une atténuation sur la tension et le courant tout le long de la ligne
  • L’introduction du facteur I/(LC) dans l’expression du courant introduit en déphasage de se dernier quand Z est complexe.
  • L’expression de vitesse de propagation de l’onde dans le milieu v=ω/ß montre que cette vitesse est plus petite dans l’onde avec perte que celle d’une ligne sans pertes, car ß devient complexe et son module est plus grand que ßo=ω√(LC)

D’une manière générale, les résultats sur une ligne avec perte peuvent se déduire avec ceux d’une ligne sans perte en faisant quelques modifications:

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On doit cependant faire attention pour les autres expressions par exemple:

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L’expression (18) fait apparaitre une nouvelle différence de comportement de la ligne avec pertes sur la ligne sans pertes. La puissance dissipée sur la ligne dans une portion de longueur d

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La constante peut être précisée en spécifiant les pertes pat unité de longueur sur une ligne adaptée. Si nous prenons l’expression de la propagation

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Les paramètres linéiques de la ligne

Nous avons vue que les paramètres linéiques Li et Ci pour une ligne sans pertes pouvaient être calculés comme ceux dans le cas d’une ligne statique à cause de la matière de l’;ordre TEM calculé comme ceux dans le cas d’une ligne statique. Dans le cas de la ligne de transmission , si on élimine les effets de proximités des répartitions de charges sur les cylindres des conductions qui peuvent être négligés lorsque la distance entre les deux conducteurs est très grande par rapport aux sections. Les méthodes statiques permettent de déterminer les éléments des permittivités linéiques. On peut remarquer que le seul chargement noté dans l’équation de Maxwell est:

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On peut dire que la seule différence avec une ligne avec perte si on considère la permittivité:

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Dans le cas d’une ligne avec perte la capacité linéique est complexe et s’écrit:

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Si on multiplie cette expression par jω et en comparant avec l’équation en-dessus on a:

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On peut s’apercevoir que:

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1 décembre 2021
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