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Ligne de transmission sans pertes

Généralités

La propagation des ondes électromagnétiques dans le vide est généralement différente dans les lignes de transmission d’une manière générale. La structure du couple électromagnétique E,B varie avec la fréquence dans le cas où la longueur d’onde se rapproche de l’onde de grandeur du circuit de la ligne de transmission. Dans de telles conditions, les signaux sont fortement atténués sous les faibles distances. En dehors des guides d’onde, on peut utiliser au-delà de 100MHz à quelques GHz. Toutes les lignes pour lesquelles il serait possible de les calculer sans difficulté sont les lignes dites TEM où les notions de tension et de courant gardent leur sens. Sur ses lignes de champ E et H se trouvent dans des plans perpendiculaires au conducteur (d’où l’appellation TEM: Transversal Electric Magnetic Fields) et il est donc possible d’en déduire les tensions et les courants. Les lignes coaxiales bifilaires et triplaques en sont les bons exemples.
Dans ce chapitre on note que même s’il est difficile de déterminer le potentiel unique entre 2 points sur ligne dans le cas l’onde électromagnétique venant dans le temps en mode TEM on peut le faire. On établit en effet dans les cas qui sont:

  • Le champ électrique est conservé sur tout le plan transversal
  • Le champ magnétique satisfait aux conditions sur tout plan transverses

De ses résultats découlent plusieurs applications utiles avec des grandes similitudes par rapport à la propagation en espace libre d’onde plane à savoir:

  • Calculer le coefficient de réflexion sur une charge donnée.
  • Calculer les impédances de charge sur les circuits en court-circuit ou en circuit ouvert.

Transmission d’une onde TEM sur une ligne sans perte

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On rappelle que les formes intégrales des équations d’Ampère et de Faraday sont:

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Les équations (5) et (6) sont les résultats obtenus pour les cas statiques, par conséquent on tire deux conclusions:

  • Le champ électrique E en mode TEM est à flux conservatrice et satisfait un champ électrique.
  • Le champ magnétique en mode TEM satisfait les conditions sur distribution magnétique sur n’importe quelle traverse x y

Nous pouvons appliquer ces deux résultats à une ligne de transmission e, déterminant le champ en n’importe quel point en z dans la ligne le long de tout le chemin entre le conducteur au point d’ordonnée z.

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De ce qui précède, on peut considérer que le courant dans deux conducteurs fait un champ magnétique en forme de spire faisant apparaître l’inductance L. A partir de laquelle on peut définir une inductance linéaire.

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Ces observations se justifient par le fait que le mode TEM satisfait aux conditions statiques du champ électromagnétique sur tout son plan transversal. Il est important de noter que le mode TEM en excitation statique satisfait les conditions statistiques impliquant une modélisation identique de cette ligne de transmission.

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Soit une ligne de transmission de longueur l alimentée à une extrémité par un générateur de tension haute fréquence et fermée à l’autre extrémité par une impédance ZR. En haute fréquence la longueur ml est plus grande devant la longueur d’onde.

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Pour faire l’étude de ces phénomènes, il convient d’adopter une modélisation de la ligne de transmission. Le modèle utilisé est n réseau qui comporte:

  • En série une résistance Rs et une inductance L. Pour représenter respectivement les pertes d’énergie actives et réactives dan les conducteurs de la ligne.
  • En parallèle une conductance G et une capacité C pour représenter les pertes d’énergie actives et réactives dans le diélectrique de la ligne.

On peut s’attendre à ce que la variation du courant et de tension au long de la ligne ne doit pas être discontinue. Pour anticiper cette notion, nous allons supposer que les différents éléments de la ligne deviennent de plus en plus petits. Tout en s’assurant que la somme de ces éléments infinitésimales donne la longueur totale de la ligne.
On va donc écrire les expressions de V et de I de la manière suivante:

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Le système d’équation (10) a plusieurs solutions. En dérivant (10A) par rapport à z et (10B) par rapport à t, on retrouve le même système des équations différentielles, 2 relations à la propagation des ondes électromagnétiques planes dans le vide.

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Si nous écrivons l’équation (10A) en utilisant (10B), on obtient l’équation pour la tension.

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Par le même raisonnement identique, on obtient l’équation pour le courant.

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Dans ces équations, on peut remarquer que le produit LC est l’inverse d’une vitesse au carré: V=1/(LC)½
On peut démontrer que une ligne de transmission existe par une onde TEM et émergée dans un milieu de caractéristique E et u la relation suivante est représentée.

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Comme dans les ondes planes V+ et I+ ainsi que V et I sont liés par les relations suivantes.

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Etant donné que RC=(L/C)½, le système différentiel de second ordre de la propagation de l’onde se résout dans le cas où une onde se propage dans une seule direction.
ZR=RC=(L/C)½ qui implique l’impédance caractéristique RC égale à la charge ZR: il y’a pas réflexion.
Si ZR différent de RC alors V+, I+, V, I. La discontinuité produite par Z R est tout à fait semblable à la réflexion de l’onde sur un obstacle tel que décrit par l’électromagnétisme.
Nous traduisons cette discontinuité en différent coefficient de réflexion de la tension aux bornes de ZR

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l: longueur totale de la ligne
u: vitesse de propagation.
Si on remplace cette expression (15) aux expressions de courant et de tension à l’équation (13), on retrouve:

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On peut trouver que le cœfficient de réflexion est égale à:

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La propagation d’une onde TEM présente donc l’analogie très importante avec la propagation de l’onde électromagnétique plan en incidence normale d’une région d’indice n1 vers l’autre région avec l’indice n2. On aura taux de réflexion:

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Nous allons maintenant nous intéresser aux valeurs de courant et de tension sur tout le long de la ligne.
V(0,t) = U+(t, 0/u) (20)
Entre 0<t<t/u sur la source, on a seulement la tension et le courant.

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A t supérieur ou égal à 2l/u et réfléchi vers la source, cette réflexion vers la source se fait selon la loi du diviseur de tension U(0,t)=RCVS(t)/(RC+RS) et la même démarche nous conduit de définir le cœfficient de réflexion aux bornes de la source.

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La cœxistence de l’onde incident (celle qui est réfléchie sur la charge) et celle envoyée à la source comme dans une onde composite qui sera régulée par le cœfficient de la charge aux bornes de la charge d’une part et aux bornes de la source.
Ces processus de réflexion continus peuvent être déterminés à différents instants comme étant la source de courant et de tension, à cet instant en tenant compte des cœfficients de réflexion.


Cas d’une excitation sinusoïdale sur une ligne sans perte (ω>>0)

V(t) = VSCosωt = ReVSejωt (23) avec Re=réel
Nous allons supposer que les effets transitoires se sont estompés, nous avons en notation complexe

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On peut définir le cœfficient de réflexion complexe qui est:
Si nous voulons calculer l’impédance d’entrée en connaissant V(Z) et I(Z), on aura:

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Si nous voulons l’impédance de sortie:

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On peut remarquer l’analogie entre l’onde plan en indice normale et la propagation en onde guidée d’une onde TEM.
SI on remplace le rapport V(Z)/V+(Z) par

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Le cœfficient de réflexion en tout point de la ligne peut être calculé en fonction du cœfficient de réflexion aux bornes de la charge, lesquels peuvent accorder à la relation suivante.

RC : impédance caractéristique de la ligne.

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La relation (35) permet de déduire plusieurs résultats, d’abord le calcul de l’impédance lorsque la ligne est court-circuitée.
ZL=0 ; Zin(0)=jRCtg(BL)
Ceci produit un déphasage.

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Quand une ligne est en court circuit elle devient capacitive.

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On peut tout de suit remarquer le comportement inductif ou capacitif de la ligne suivante que celle-ci estompe ligne ouverte ou en court-circuit.
Il y’a une relation entre RC d’une part et Zin(0) à Zl tendant vers l’infini d’autre part.

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Si on désigne par Xin les impédances d’ordre réactif, on obtient les diagrammes suivants en fonction de la longueur de la ligne.

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  1. On note que pour les lignes de longueur 2KX/4 lorsqu’elles sont tenues par le court-circuit, les impédances d’entrée apparaisse,t comme les lignes ouvertes, par contre lorsqu’elles sont chargées par les impédances infinies, les impédances d’entrée apparaissent comme le court-circuit.
  2. L’inverse du phénomène ci-dessus apparaissent lorsque les lignes ont les longueurs
    On peut également observer que l’impédance d’entrée se reproduit identique à elle-même lorsque
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Courant et tension tout le long de la ligne

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Si nous prenons la valeur absolue de Id et VZ

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Dans la pratique, il faut toujours charger une ligne de transmission pour éviter la destruction du générateur. Si au contraire nous avons:

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Si la ligne est chargée ZC nous retrouvons:

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Si Zl=RC le cœfficient de réflexion égal 0: il y’a pas de réflexion donc la ligne est adaptée. Il y’a pas de variation de courant ni de tension tout le long de la ligne.
Les expressions de Vd et Id exprimé en fonction du coefficient de réflexion peuvent être représentés en fonction de d (distance) sur un diagramme de CRANK, en considérant le même vecteur.

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Adaptation de ligne de transmission

Nous avons vu que lorsqu’une ligne n’est pas adaptée, c’est-à-dire Zl différent de Rc, implique que le cœfficient de réflexion est différent de 0, ce qui s’explique par le signal réfléchi de même forme que le signal incident, mais suivant le rapport du cœfficient de réflexion.
Ceci est particulièrement désagréable notamment en téléphonie, en transmission d’image et de données. D’une manière générale on évalue le degré désadapté de la ligne en mesurant le rapport ROS (Rapport Onde Stationnaire).
On peut rapidement remarquer que:

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Transmission d’énergie

Nous allons maintenant nous intéresser à la propagation d’énergie. La nature de l’onde TEM nous fait croire que l’énergie se propage suivant le sens positif ou Z, c’est-à-dire le vecteur de Poyting.
On peut dire que la puissance moyenne PAV(z)

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On peut aussi calculer la même chose en utilisant Vi

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Donc la puissance max est transférée à la charge.


Les supports de transmission : Le câble coaxial

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1 décembre 2021
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