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Les symétries

Points symétriques par rapport à un point

Soit la droite.
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Nous constatons que O est le milieu du segment [AB], on dit alors que les points A et B sont symétriques par rapport à O.
Dire que A est symétrique de B par rapport à O signifie que AO=OB.

Construction du symétrique d’un point par rapport à un autre point donné

Exemple:

Construisons le symétrique de F’ par rapport à I.
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Nous pouvons réaliser une telle construction à l’aide d’un compas.


Propriété des symétriques par rapport à un point.

Droites symétriques

Activité:

symseg
Le segment [AB] est l’image du segment du segment [A’C’] par rapport à O.

Propriétés:

Le segment [AC] est l’image du segment [AC] par rapport à O
Lorsque les points sont alignés leur symétrie par rapport é un point O sont aussi alignés. Si les points A et B ont pour symétrie par rapport au point O, les points A’ et B’ les droites (AB) et (A’B’) sont aussi symétriques au points O.

Segments et angles symétriques

Activité:

symétrie
Les segments [AB] et [A’B’] par rapport à O.
Propriété:
Deux segments symétriques par rapport à un point ont la même longueur. Deux angles symétriques par rapport à un point ont la même mesure: Â = Â’


Figures admettant un centre de symétrie

Activité:

Traçons un cercle de centre K et marquons un point N sur ce cercle. Construisons la symétrie de N par rapport à K.
cercle
Propriété:
Le centre d’un cercle est le centre de symétrie de ce cercle. Une symétrie est appelée centrale.

Symétrie orthogonale Construction du symétrie d’un point donné par rapport à une droite

Soit la droite (D) ci-dessous.
segment
Pour construire le symétrie d’un point par rapport à une droite, il faut que A (D) = (D) A

Propriétés des figures symétrie par rapport à une droite

1ère Propriété: droites symétriques.

3 droites
Lorsque les points sont alignés, leurs symétries par rapport à une droite (D) sont aussi alignées. Deux droites (D1) et (D2) symétrique par rapport à la droite (L) sont parallèle.

2ème Propriété: Segment et angles symétriques.

  • Deux segments [AB] et [A’B’] symétriques par rapport à une droite ont la même longueur
  • Deux angles symétriques par rapport à une droite ont la même mesure.

Figure admettant un axe de symétrie

Axe de symétrie:
carrée
La droite (D) passe par le milieu du carré (elle divise se carré en deux parties égales). Elle est donc appelée axe de symétrie.

Le losange

losange
Un losange est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en un milieu et sont perpendiculaires.

  • Un losange est un parallélogramme.
  • Les côtés d’un losange ont la même longueur.
  • Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires mais n’ont pas la même longueur.

La surface d’un losange est: S = (h x l) / 2


Tableau de correspondance

La symétrie par rapport au point O s’appelle encore la symétrie centrale de centre O.
Elle se note

Tableau de correspondance
Par la symétrie centrale on trouve l’image d’un point par rapport à un autre point du plan. Cette image est toujours un point.
On dit que la symétrie centrale est une application du plan dans le plan parce que l’image d’un point est un point unique.

Exercice d’application

ABCD est un parallélogramme de centre K. Construisez le point F symétrique de C par rapport à D et le point L symétrique de F par rapport à K.
Dressez un tableau de correspondance de Sk, et justifiez que B est le milieu [AL]

Tableau de correspondance
Le segment [AL] est la symétrie du segment [FC] par rapport à K donc la symétrie du milieu du segment [FC] sera le milieu de [AL]. Nous savons que F étant la symétrie de C par rapport à D. D est le milieu de K, donc B est le milieu de AL


Utilisation des tableaux de correspondance

Reproduisez et complétez la figure codée ci-contre en vous référant au tableau de correspondance.

Utilisation des tableaux de correspondance

Utilisation des symétries pour démontrer

On donne le point O et trois points A, B et C non alignés. P, Q et R sont les images respectives de A, B et C par la symétrie de centre O.

Démontrez que les triangles ABC et PQR sont superposables

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Exercice d’application 1:

On donne un cercle (C) de centre O et deux points E et F de (C), So est la symétrie de centre O. Complétez le tableau de correspondance et la figure ci-contre. Expliquez la méthode de construction des points E’ et F’

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O est le centre du cercle (C) par conséquent il est le centre de symétrie du cercle (C), ce qui veut dire que tout point de (C) a pour symétrique par rapport à O un autre point de (C). Donc il suffit de construire ces diamètres ayant une extrémité, le point E ou le point F. Les symétrique de E et F par rapport à O seront chacun un point diamétralement opposé à F

Exercice d’application 2:

On donne cercle (C) de centre O, deux points E et F de (C) et un point P de (EF), So est la symétrie de centre O. Complétez le tableau de correspondance et la figure ci-contre.
Expliquez la méthode de construction P’

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PE (EF) donc P, E et F sont alignés et nous savons que les symétriques de trois points alignés sont des points alignés.
Donc So(EF) = (E’F’)
P’, E’ et F’ sont des points alignés.

Exercice d’application 3:

ABCD est un rectangle, E l’image du point A par So et F l’image du point B par SC.

  • Démontrez que (EF) est l’image de la droite (AB) par la symétrie orthogonale d’axe (DC) .
    Justifiez que ABFE est un rectangle
  • Démontrez que le centre O de ce rectangle appartient à [DC]

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ABCD est un rectangle donc (AB) est perpendiculaire à (BC) et (AD) perpendiculaire à (BC)
SDA=E signifie que c’est le milieu [AE].
(DC) est donc la médiatrice de [AE].

2 décembre 2021
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