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Les suites numériques

Généralités

  • On appelle suite numérique ou suite réelle, toute application d’une partie I et IN dans IR, c’est-à-dire:
    U: I → IR
    n → U(n) = Un
  • La suite est dite finie si I est finie I= {0, 1,2,…m}
  • La suite est dite infini si I est dite infinie I=IN ou I=IN*
  • On désigne par Un l’image de l’entier n. L’image U(n) de l’entier naturelle n par l’application U se note généralement Un et on dit que la suite est de terme générale Un et la suite est noté U(n) n appartient à I

Classification des suites

Suite arithmétique

On appelle suite arithmétique ou progression arithmétique une suite de nombre où chaque nombre est égal à la somme du précédent et d’un nombre fixe non nul appelé « raison » de la suite.

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Conclusion:

U1, U2, U3, U4 sont les 4 termes d’une suite arithmétiques Un de premier terme U1=½ et de raison r=1

Expression de Un à l’aide du premier terme U1 et du nombre de tension n

Un terme de la suite arithmétique est égal à la somme du premier terme et du produit de la raison par le nombre de terme précédent le terme considéré Un=U1+(n-1)r

Exemple:

Un=U1+(n-1)r
U2=U1+(2-1)r=U1+r=-½
U3=U1+(3-1)r=U1+2r=½-2=-3/2

D’une manière générale Un=UK+(n-K)r
Un=U0+nr

Somme des termes consécutifs

Soient U1, U2…Un les termes d’une suite arithmétique en écrivant la somme Sn dans un ordre donné, puis dans l’ordre inverse on a:

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Suites géométriques

Une suite géométrique ou progression géométrique est une suite de nombre ou chaque nombre est le produit du précédent par un nombre fixe différent de zéro et de 1 appelé raison de la suite. En d’autre terme soit q appartenant à l’ensemble R (Un) est une suite géométrique de raison q si et seulement si quelque soit n appartenant à l’ensemble N Un+1=q.Un

Exemple:

U1=1 ; q=-2
U1+1 = q.U1 ↔ U2 = q.U1 = -2×1 = -2
U2+1 = q.U2 ↔ U3 = q.U2 = -2(-2) = 4
U3+1 = q.U3 ↔ U4 = q.U3 = -2(4) = -8
U4+1 = q.U4 ↔ U5 = q.U4 = -2(-8) = 16
U1; U2; U3; U4; U5 sont les 5 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme U1=1 de raison q=-2

Expression de Un à l’aide du premier terme U1 et du nombre de termes n

Si U1 le premier terme q, la raison Un=U1qn-1
Si U0 le premier terme Un=U0qn
D’une manière générale quelque soit (n, K) appartenant à l’ensemble N2 Un=qn-KUK

Somme de terme d’une suite géométrique

Soit Sn la somme de n terme consécutif d’une suite géométrique, on a:

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Suite monotone

  • Une suite Un est croissante si et seulement si pour tout n; Un+1 supérieure ou égale à Un
  • Une suite (Un) est décroissante si et seulement si pour tout n; Un+1 inférieure ou égale à Un
  • Une suite Un est dite constante si et seulement si pour tout n; Un+1=Un

Convergence d’une suite

On dit qu’une suite Un converge vers un nombre réel si et seulement si lim Un = l quand x tend vers plus l’infinie.

2 décembre 2021
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