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Les guides d’ondes rectangulaires

Généralités

Lorsqu’on travaille dans le domaine des hyperfréquences (300MHz<f<300GHz), les câbles coaxiaux commencent à approcher de leur condition limites.
Tout d’abord les câbles coaxiaux présentent des pertes importantes à ces fréquences.
Plus on monte en fréquence, plus le TOS du câble devient mauvais. Il faut ainsi prendre beaucoup de soin pour réaliser un câble de genre RG-213 pour travailler à 4 GHz. Et même en apportant un maximum de soin on arrive à peine à un VSWR de 1,25.
Enfin un câble coaxial présente une fréquence de coupure qui est donnée par la relation

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où c est la vitesse des ondes électromagnétiques (300.000Km/s)
Ainsi pour un câble du genre RG-213 la permittivité relative du PE est de 2,28, D=8,1mm et d=2,25mm, on peut calculer une

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Cette formule montre aussi que plus le câble est gros plus sa fréquence sera basse! On arrive à cette conclusion : si on veut une fréquence de coupure élevée, il faut que le diamètre soit petit et si on veut que les pertes soient faibles il faut que le diamètre soit grand! Pour contre carrer ces faiblesses du câble coaxial, on est obligé d’employer différents techniques de propagations d’énergie vers l’antenne. Cette technique est la mise en place des guides d’onde pour véhiculer l’énergie vers l’antenne de propagation. Les guides d’onde sont faits en matériaux métalliques, mais les développements technologiques aujourd’hui fait apparaitre le guide en fibre optique qui est un matériel non métallique.

Il y a quelques propriétés de l’onde électromagnétique dans l’espace libre suivant:

  • Une onde électromagnétique est constituée d’un champ électrique E et d’un champ magnétique H qui forment un trièdre direct avec la direction de la propagation. Soit u le vecteur unitaire de cette direction, nous avons alors:
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La permittivité et la perméabilité magnétique du milieu où s’effectue la propagation dans le cas de l’air ou du vide. Il est à noter que E et H forment un plan perpendiculaire à la direction de propagation (plan d’onde)

  • L’équation de propagation en espace libre diélectrique, selon une direction Oz des champs électrique et magnétique, pris en valeur instantanées complexes e(z, t) et h(z,t) est:
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  • Les conditions aux limites à l’interface diélectrique conductrice sont:
    1. la composante tangentielle du champ E est nulle : ET = 0
    2. La composante normale du champ H est nulle : HN = 0

Les conditions aux limites à l’interface entre deux milieux diélectriques parfaits 1 et 2 sont:

    1. Continuité des composantes tangentielles des champs E et H sont:
      ET.1 = ET.2 et HT.1 = HT.2
    2. Continuité des composantes normales des vecteurs D et B
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    Lorsqu’une onde électromagnétique se dirige vers un plan conducteur parfait sous un angle (voir figure ci-après), cette onde peut être décomposée en un champ électrique incident Ei et un champ magnétique incident Hi.

    1. Le vecteur champ électrique Ei incident est parallèle à la surface. Il est représenté par le cercle avec la croix. Ce vecteur donnera par réflexion un vecteur Er tel que la somme vectorielle Ei+Er soit nulle. C’est la première condition énoncée ci-dessus. Par conséquent le vecteur Er sera représenté par un cercle avec un point.
    2. Le vecteur champ magnétique peut être décomposé en deux parties. D’une part la composante tangentielle HTi qui ne sera pas perturbée donc HTi=Hri. Et d’autre part la composante normale HNr qui donnera par réflexion une opposante normale HNr telle que la somme vectorielle HNi+HNr soit nulle. C’est la deuxième condition énoncée ci+-dessus.

    Aussi dans Par conséquent, on peut dire qu’une onde électromagnétique qui arrive sur un conducteur parfait va être réfléchie, et,

    1. cette réflexion se fera sans perte
    2. la direction de l’onde incidente et la direction de propagation de l’onde réfléchie sont dans un même plan perpendiculaire au plan du conducteur
    3. L’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion

    Si on place l’un en face de l’autre, deux plans conducteurs, l’onde va être réfléchie d’un plan sur l’autre et elle va se propager. C’est le principe du guide d’onde
    On distingue plusieurs types de guides d’ondes à savoir:

    • le guide d’ondes à section circulaire est en principe ceux qui représentent le moins de pertes. Les guides d’ondes circulaires permettent également de faire véhiculer deux signaux à polarisation orthogonale dans le même guide. Toutefois la maitrise requise pour garder les champs électriques et magnétiques bien perpendiculaires est très délicate. C’est pourquoi on leur préfère les guides rectangulaires ou elliptiques
    • le guide d’onde à section rectangulaire permettent de réaliser tous les raccordements à l’intérieur d’un équipement (à l’intérieur d’un émetteur ou d’un récepteur), et de raccorder plusieurs équipements ensemble, et
    • le guide d’onde à section elliptique avec une ondulation longitudinale permet de réaliser des guides faciles à poser sur des distances importantes, à l’intérieur des bâtiments de caoutchouc de protection. Ce type de guide d’onde se laisse assez facilement couder et « tordre », ce qui permet d’arriver exactement de l’antenne.

    Séparation des équations d’ondes : les ondes de propagations

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    Equation de Maxwell et composantes des champs
    Une onde électromagnétique, dans le domaine des longueurs d’ondes centimétriques, se propage dans un guide d’onde métallique creux rectangulaire de dimension intérieures axb où a>b
    La propagation de cette onde obéit aux équations de Maxwell classiques:

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    La propagation de cette onde électromagnétique est guidée suivant la direction Oz. Nous utiliserons les notations suivantes pour décrire les composantes des champs électriques et magnétiques de l’onde:

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    En appliquant les formules de Maxwell, on obtient le système d’équations suivantes:

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    En réécrivant sur la forme vectorielle on aura:

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    Si on remplace E et H par leur expression en équation (2), on aura

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    Donc l’équation (6a) donne

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    avec k vecteur de l’axe zk = (i, j, k)
    Nous allons montrer que a cause de la supposition faite, sur la direction de propagation c’est-à-dire l’axe Oz, on peut se contenter de retrouver que les solutions que de E et H suivant l’axe z:

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    En remplaçant Hx par sa valeur dans (6a) on va obtenir

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    On peut constater qu’il suffit de calculer trois termes à savoir : Ez, Hy. Mais des deux équations, l’onde électromagnétique extraite d’équation (4) est donc:

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    Pour résoudre ces équations différentielles, nous avons supposés que Ez(z, y, z) est en réalité X, Y, ez

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    En remplaçant (8) dans (7) on a:

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    Avec les constantes X1, X2, Y1 et Y2 reste à déterminer donc l’équation (15) dans (8) nous donne:

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    Guide d’onde rectangulaire

    Les résultats obtenus ci-dessus ne dépendent pas de la forme du guide d’onde et sont donc généraux. Avant de continuer avec l’étude du guide d’onde, il y a deux hypothèses à savoir:

    • les milieux diélectriques est sans pertes
    • les parois du guide d’onde sont parfaites

    Nous allons donc utiliser le guide d’onde pour déterminer les constantes x1 , x2 , y1 et 2 ainsi que ceux des modes respectifs TE et TM. La solution générale sera la superposition de toutes les solutions particulaires.
    La recherche des solutions revient à la déterminer des valeurs propres kc pour lesquelles il existe une solution en Ez ou Hz vérifiant les conditions aux limites sur le conducteur. Ces valeurs propres formes une suite discrète, appelée spectre et à chacune d’entre elles correspond un ensemble de fonction propres ayant une structure d’espace. En général, pour un même guide, cous conduisent à des spectres différents. Ils se séparent en deux catégories:

    • les modes transverses magnétiques (TM) ou modes E, tels que (Hz=0, Ez différent de zéro)
    • Les modes transverses électriques (TE) ou mode H, tel que (Ex=0, Hz différent de zéro)

    La résolution analytique du problème est possible dans le cas de quelques sections droites de forme simple, comme par exemple le cas d’un guide rectangulaire Mode TE, Mode TM

    Le mode TM

    Pour Hz = 0, Ez la solution générale est donnée par Ez avec plusieurs conditions aux limites sur les parois conductrices du guide d’ondes sont par l’étude des équations de Maxwell Deux d’entre elles concernent l’annulation de la composante transverse du champ électrique et l’annulation de la composante normale du champ magnétique:
    Ez = 0 à x = 0
    Ez = 0 à x = b
    Ez = 0 à y = 0
    Ez = 0 à y = a
    La continuité de la composante tangentielle du champ électrique traversée de la surface

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    Pour qu’il y ait propagation, il faut dimensionner le guide d’onde a , b et la fréquence d’excitation satisfaisant la condition de (22)
    De manière claire, une infinité des couples (m, n) peuvent être choisies , et à chaque couple correspond une structure d’onde électromagnétique TM que l’on note Txmn X appartenant à (E,m). A chaque mode correspond la fréquence de coupure au-dessous de laquelle il y a plus propagation mais atténuation.

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    La famille des fréquences auxquelles il y a propagation est caractérisée par fcmm et ßmn.

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    Les autres composantes du champ Ex et Ey

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    On peut remarquer que le mode le plus petit est le mode Tx11 car pour m = 0 ou n = 0, toutes les composantes deviennent nulles

    Exemple

    1. Le guide d’onde rectangulaire à air a les dimensions suivantes:
      a = 2.23 cm ; b = 1.02 cm
      • Déterminer les fréquences de coupures fcmm pour les modes faibles suivants TM11 ; TM12 ; TM21
      • Déterminer l’impédance intrinsèque
    2. On travail à f = 18 GHz. Calculer les constantes de propagation à f = √fc, en déduire l’atténuation pour le signal au point z

    Solution

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    La constante de propagation à fc/2 = f. Etant donné que fc/2 = 16.12/2 = 8.08 GHz qui en dessous de la fréquence de coupure, nous avons l’atténuation

    Le mode TE

    Ez = 0
    Condition aux limites de la relation (6f) nous donne

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    Les fréquences de coupure et des vitesses de phase sont les même qu’en mode TM, par contre l’impédance intrinsèque est différente et on a:

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    Les guides d’onde en mode TE souvent conçu de telle manière que seul les modes inférieures sont permis au détriment des modes supérieurs, a>b on cherche à éliminer b dans l’expression de la fréquence de coupure basse en faisant n=0. De cette manière, il ne reste plus qu’à minorer a, pour minorer toute l’expression de fcmm.
    L’onde la plus faible du mode TE est TE10. Dans ce cas on a:

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    Dans le domaine temporel,

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    C est une constante réelle

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    Vecteur de Poynting

    La puissance du vecteur de Poynting est donnée par le mode TE10

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    On montre facilement que la puissance moyenne du vecteur de Poynting en mode TE et TM est donné par donnée par

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    Exemple

    Dans le guide d’onde d de l’exemple précédent, déterminer la fréquence de coupure dans le mode la plus faible, la constante de phase , la vitesse de phase, la longueur d’onde et impédance intrinsèque à la fréquence F = 7 GHz . Ensuite la puissance transmise si l’amplitude de champ transmis est de 1000 V/M

    Solution

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    Les pertes dans les guides d’ondes

    Nous avons supposé jusqu’ici que les parois du guide étaient constituées par des conducteurs parfaits, ce qui est un cas idéal auquel correspond une propagation sans perte. L’existence de courant dans les parois de conductivité finie implique qu’il y a une dissipation d’énergie par effet Joule et par conséquent une propagation avec pertes. Les pertes dans les guides d’ondes peuvent être introduites en remplaçant la perméabilité électrique par une grandeur complexe.

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    On représente les pertes tangentielles diélectriques. La prise en compte de pertes se fait à la fois en tenant compte de ßmn, ceci implique à la propagation dans le guide d’onde, la puissance moyenne sera alors:

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    Où P0 est la puissance moyenne traversant le point de référence.

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    On peut déterminer la puissance au long du guide, la puissance perdue est :

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    Les pertes dans le guide d’onde sont donc justifiées par la composante tangentielle, par les ondes magnétiques et les ondes électromagnétiques. Ces deux composantes d’onde sont reliées par impédance intrinsèques des parois du guide d’onde.

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    1 décembre 2021
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