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Les fonctions

Généralité sur les fonctions

A et B sont deux ensembles non vides. On appelle fonction de A vers B toute correspondance qui à chaque élément de A associe un ou zéro élément de B

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Ensemble de définition

Présentation

On considère la fonction f de R vers R définie par:

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1) Quelle est l’image par f de chacun des nombres suivants: -325; -2; 0; 2; 7; 4?
2) Expliquer pourquoi les nombres suivants n’ont pas d’image par f: 5; 728; -1.

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Fonctions égales sur un ensemble

On considère les fonctions

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Définition:

f et g sont des fonctions défilées sur un ensemble E.
On dit que f g sont égales sur E (ou qu’elles coïncident sur E) lorsque pour tout élément x de E f(x)=g(x)


Etude graphique

Image antécédente d’un nombre

Le plan est muni d’un repère (o,i,j)

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Image directe d’un ensemble

f est une fonction de A vers B et une partie de A.

On appelle image directe de E par f, l’ensemble des images par f de tous les éléments E
On note f(E)

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Variation d’une fonction

maximum, minimum d’une fonction

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Le plan est rapporté à un repère (o,i,j)
Df=[-4; 3]
f([-4; 3]) = [-5; 4]
B(3; -5) est le minimum
A(-3; 4) est le maximum
Le point A(-3; 4) est le point de la courbe (C) ayant la plus grande ordonnée.
Le point B (3; -5) est le point de la courbe (C) ayant la plus petite ordonnée.
On dit que f admet: sur [-4; 3], admet en x=-3 un maximum égal 4. De même sur l’intervalle [-4; 3] admet en x=3 un minimum égal à -5.

Définition:

f est une fonction numérique d’une variable réelle définit sur un ensemble E, a est élément de E.
Lorsque quelque soit x appartient à E, f(a) ≥ f(x), on dit que f(a) est le maximum de f sur E.
Lorsque quelque soit x appartient à E, f(a) ≤ f(x), on dit que f(a) est le minimum de f sur E.

Sens de variation: fonction croissante et fonction décroissante

f est une fonction numérique d’une valeur réelle définie sur un intervalle k. On dit que:

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Tableaux de variation

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Etude de fonctions

Fonction affine par intervalle

Départ → bus(1) → mi-chemin(2); attente: 10min; Après le cours: voiture avec sa mère 40Km/h

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1) Quel est la vitesse moyenne de chaque bus?

2) Déterminez par le calcul l’heure d’arrivée au domicile.

3) Précisez les différents intervalles et la fonction affine correspondantes à chaque intervalle.

Définition:

On appelle fonction affine par intervalle, toute fonction variable réelle dont l’ensemble de définition est une réunion d’intervalles sur chacun desquels ƒ coïncide avec une fonction affine. Lorsque sur chacune de ces intervalles, ƒ coïncide avec une fonction constante, on dit que ƒ est une fonction en escalier.

La fonction valeur absolue

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Taux d’accroissement d’une fonction

Exercice:

  • f est une fonction de R vers R définie sur un intervalle k.
    • Démontrez que f est strictement croissante sur K si et seulement si pour tous nombre réel distinct u et v de K on a: [f(v)-f(u)]/(v-u) > 0
    • Etablir un résultat analogue pour une fonction strictement décroissante sur K
  • On considère la fonction f définie sur [-1; 1] par f(x)=-2x2-2x+5
    • Quelle est le sens de variation de f sur les intervalles [-1; ½] et [-½; 1]
    • Etablir le tableau de variation de f. Démontrez que f admet sur [-1; 1] un maximum et un minimum dont on donnera les valeurs.

Définition:

Soit f une fonction u et v deux réels appartenant à Df. On appelle taux d’accroissement de v à u, de f le réel t= [f(v)-f(u)]/(v-u)

  • f est croissante si t>0
  • f est décroissante si t<0
  • f est constante si t = 0

t >0 si et seulement si v-u et f(v)-f(u) ont le même signe.

solution:

2) f(x)=-2x2-2x+5
a) Sens de variation de f sur [-1;-½] et [-½; 1]
Pour tout nombre u et v distinct, on a:

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Fonction partie entière

On veut étudier la fonction partie entière

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La partie entière est une fonction définie sur R. Pour tout nombre réel x et pour tout nombre entier relatif n

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La fonction ƒ est bien une fonction affine par intervalle.

Représentation graphique sur [-4; 5]

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Tous point m de la courbe (P) a pour symétrique par rapport à l’axe (oj) un point m’ de (P). On dit que (P) est une parabole de somme O et d’axe (oj)

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Etude de la fonction inverse: h(x) = 1/x

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Etude de la fonction cube

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2 décembre 2021
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