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Comme caractéristique de position on a le mode, la moyenne, la médiane.
Le mode
On appelle mode la valeur du caractère ayant le plus grand effectif
Exemple 1:
Cas d’un caractère discret
Déterminez le mode de la série statistique suivante
| Modalité (xi) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Effectif (ni) | 3 | 8 | 16 | 7 | 6 |
Le plus grand effectif est 16, alors le mode M0=2
Exemple 2:
Cas d’un caractère continue
Déterminer le mode de la série statistique suivante
| xi | [5; 10[ | [10; 15[ | [15; 20[ | [20; 25[ | [25; 30[ |
| ni | 2 | 3 | 7 | 10 | 5 |
Le plus grand effectif est 10 alors [20; 25[est la classe modale, c’est-à-dire les valeurs comprises entre 20 et 25 représentent toutes le mode.
La moyenne
Exemple 1: Cas d’un caractère direct
Pour une série statistique (xi, ni) le moyenne
Calculez la moyenne arithmétique de la série statistique suivante
| xi | 2 | 5 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | Total |
| ni | 1 | 2 | 3 | 4 | 4 | 7 | 7 | 9 | 37 |
| nixi | 2 | 10 | 21 | 32 | 36 | 70 | 77 | 108 | 256 |
Exemple 2:
Cas d’un caractère continu
La moyenne d’une série statistique pour un caractère continu est la moyenne de la série (ci, ni)
ci: étant le centre de la classe
Pour une classe [a; b[ Ci1/2= (a+b)
Déterminer la moyenne de la série suivante
| xi | [10; 20[ | [20; 25[ | [25; 40[ | [40; 45[ | [45; 50[ | Total |
| ni | 60 | 45 | 90 | 40 | 15 | 250 |
| Ci | 15 | 22,5 | 32,5 | 42,5 | 47,5 | |
| niCi | 900 | 1012,5 | 2925 | 1700 | 712,5 | 7250 |
La médiane (Me)
La médiane d’une série statistique est la valeur de la variable qui partage en 2 effectifs égaux les individus d’une population statistique supposée rangée par ordre de grandeur croissante ou décroissante.
Cas des observations non groupées
Série impaire
Exemple:
Soit la série 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15
Me=9
Série paire
Exemple:
3; 5; 7; 9; 11; 13. On parle ici d’intervalle médiane c’est-à-dire Me appartient à [7; 9]
Cas des observations groupées
La médiane s’obtient ici par interpolation linéaire
þi(%)=100*ni/n
Exemple:
Déterminez la médiane de série statistique suivante
| xi | [10; 20[ | [20; 25[ | [25; 40[ | [40; 45[ | [45; 50[ | [50; 60[ | Total |
| ni | 60 | 45 | 90 | 40 | 15 | 50 | 300 |
| fi(%) | 20 | 15 | 30 | 13 | 5 | 17 | 100 |
| Fi(%) | 20 | 35 Me | 65 | 78 | 83 | 100 |
M2 est la médiane ici parce que 35 et 65 est compris en 50% c’est-à-dire 50 appartient à 35 et 65
La classe médiane est [25; 40[et 25<Me<40
Les caractéristiques de dispresion
Une caractéristique de dispersion est un nombre qui permet de connaître la répartition des individus au tour de la moyenne. On distingue:
- L’écart moyen
- La variance
- L’écart type
L’écart moyen
C’est la moyenne des écarts à la moyenne
- Pour le cas d’une statistique discrète
- Pour le cas d’une variable statistique continue (observation groupée)
La variation et l’écart type
- La variation est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
- Pour une variation statistique discrète
- Pour une variable statistique continue
- L’écart type est la racine carrée de la variance
Exemple:
On considère la série statistique présentée dans le tableau suivant
| Classe (xi) | [1; 2[ | [2; 4[ | [4; 5[ | [5; 6[ | [6; 9[ |
| Effectif (ni) | 258 | 133 | 164 | 108 | 337 |
Calculez l’écart moyen, la variance et l’écart type.
| xi | ni | Ci | niCi | |Ci-X| | ni|Ci-X| | (Ci-X)2 | ni(Ci-X)2 |
| [1; 2[ | 258 | 1,5 | 387 | 3,14 | 810,12 | 9,85 | 2541,3 |
| [2; 4[ | 133 | 3 | 399 | 1,64 | 218,12 | 2,68 | 356,44 |
| [4; 5[ | 164 | 4,5 | 738 | 0,14 | 22,96 | 0,01 | 1,64 |
| [5; 6[ | 108 | 5,5 | 594 | 0,86 | 92,88 | 0,73 | 78,84 |
| [6; 9[ | 337 | 7,5 | 2527,5 | 2,86 | 263,82 | 817 | 2753,29 |
| Total | 1000 | 4645,5 | 2107,9 | 5731,51 |
