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Les applications linéaires

Généralités

Définitions

157

Vocabulaire

Une application linéaire de E vers F (E différent de F) est un homomorphisme de E vers F.
Si fEF est une bijection de E vers F on dira fEF est un Isomorphisme de E vers F.
Supposons fEF application linéaire définie dans E1 f est un endomorphisme dans E. Finalement un endomorphisme bijectif sera appelé un automorphisme.

Propriétés remarquables

Soit BE une base de E.

Si fEF est injective alors

  1. L’image par fEF d’un système libre de E est un système libre de F
  2. La matrice MEF(f) existe et est inversible
  3. 158
  4. Rang MEF(f)=dimE=N

fEF n’est pas injective alors

  1. 159
  2. Le déterminant de la matrice MEF(f) est nul
  3. 160
  4. Rang MEF(f)<N

Exercice d’application

161

Image et noyau d’une application linéaire

Soit f une application linéaire de E vers F, on définit les sous espaces suivants:

Images de f

Soit Im(f) le sous espace vectoriel de F définit de la façon suivante:

162
C’est l’ensemble des images obtenues par f

Caractéristiques de Im(f)

Si f est injective, alors dim(Imf) = rangf < dimF
Si f n’est pas injective, alors dim(Imf) = rangf < dimF
Si F=E alors:

163

Noyau de f

Soit Ker(f) le sous espace vectoriel de E définit par:

164
C’est le noyau de f (« Ker(f) »)

Caractéristiques de Ker(f)

Si f est injective alors dim(Ker(f)) = 0 alors Ker(f)={0E}
Si f n’est pas injective dim(Ker(f)) appartient à l’intervalle [1;N]

Exercice 1:

Soit f un endomorphisme de E2 vérifiant:

165

Solution

166

Exercice 2

Soit E3 un espace vectoriel de dimension 3 rapporté à sa base caractéristique:

167

Solution

168

Théorème de Laplace

Soit un système d’équation à K inconnues, posons R=rang(S)
La solution de (S) comportera (N-R) paramètre à choisir, paramètre inconnus.

169

Théorème de conservation de la trace

Soit MB la matrice d’une application linéaire, f de EN⟶H écrit dans une base B de EN

170
On appelle trace de MB la somme des termes situés sur le diagonale de MB notation:

171

Propriété

Considérons une base de EN, B’1, B’2,…, B’N, alors les différentes matrices de f relativement à B’i tr(M’1)=tr(M’2)=…tr(M’m)

Application linéaire nilpotent d’ordre n

Une application linéaire f est dite « Nilpotente » s’il existe m>0.

172

Polynôme caractéristique, vecteurs propres

On se propose de déterminer la famille de vecteur non lu de EN tek que:

173
Lorsque f est une application de EN vers F

Polynôme caractéristique

Ecrivons l’équation (1) sous forme matricielle:

174

Sous espace propres de F

Valeurs propres

les valeurs de λ (λ≠0) vérifiant Pf(x)=0 sont appelées les valeurs propres de f

Vecteurs propres

176

Supplémentarité des sous espaces

177

Exercice:

178
  1. Déterminez Pf()
  2. Déterminez les valeurs propres de f
  3. Soit B’ une base de E2 constituée par les vecteurs propres de f.
    Ecrire M1 la matrice de f relative à B’ (vérifiant tr(M)=trA)
  4. Calculez MN
  5. Calculez M2-10M+16I2 (1)
    Déduire de (1) la valeur de M-1

Solution:

179

BN=P-1ANP

Soit f une application linéaire de E vers F dont les matrices associées relativement à deux bases B et B’ de E sot AB(f) et B’B(f) respectivement. Nous avons établi l’égalité BB’(f)=P-1AB(f)P où P est la matrice de passage de base B à la base B’.
Supposons l’existence d’une application linéaire:

180
La matrice associée à SN dans la base B étant HNB(SN) , alors (1) et (2) donne BB’(f)=P-1HNB(SN)P (3)
On peut poser WN (SN) la matrice de SN dans la base B’.
L’égalité (3) devient WB’N=P-1HNNP (2)

Exercice:

Soit E4 un espace vectoriel de dimension 4 rapporté à sa base canonique:

181

Solution:

182
2 décembre 2021
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