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Intégrales multiples

Intégrales doubles

Intégrale double sur un rectangle

ƒ est continue sur [a, b]*[c, d] a<b, c<d.

67

Intégrale double sur un ouvert borné

D = ouvert borné non vide R2

68

Intégrations successives

69
Cas de « variables séparées ».

70

Exemples de calcul:

ƒ(x, y) = xy2 ; D: domaine limité par les droites x=2 ; x=-2 ; l’hyperbole y2-x2=1

71

Valeur moyenne d’une fonction sur le domaine borné D

f est une fonction sur D. La valeur moyenne de f sur D est :

72

Exemple:

Calculez la valeur moyenne de ƒ(x ,y)=xy2 sur:

73

Changement de variables

74
Le domaine image de D par la transformation

75

Exemple:

(S) = cercle de centre O(0; 0) et rayon 2.

76
et D1 est image de D dans le plan de variable cartésienne.

Exemple:

Calculez.

77

Calcul d’aires

  1. En coordonnées rectangulaires (cartésienne)
78
  1. En coordonnées polaire: (r, φ)
79

Exemple:

(S) est le domaine limité par x2=2y ; x2=4y (posez x2=4y ; y2=vx)

Calcul de volume

On considère dans l’espace (o, i, j, k) un cylindre limité supérieurement par une surface continue et inférieurement par z=0

80

Exercice:

Calculez le volume limité par;

  1. Le paraboloïde elliptique z=2x2+y2+1, le plan x+y=1 et les plans de coordonnées.
  2. Le paraboloïde hyperbolique z=x2-y2 et les plans y=0, z=0 et x=1
  3. Les surfaces: 2z+x2+y2 ; x2+y2=1 ; z=0

Calculez le volume de l’ellipsoïde:

81

Calcul d’axe de surfaces de R3

Une surface de R3 est donnée par z=ƒ(x, y, z) ou F(x, y, z)=0 ou une caractérisation paramétrique.

82

Exemple:

  1. (S): surface du cône x2-y2=z2 comprise dans le premier dièdre et limité par le plan y+z=a ; a>0
  2. Calculez l’aire de la portion de surface d’une parabole de y2+z2=2ax comprise entre le cylindre y2=ax et le plan x=a ; a>0

Application de l’intégrale double

Masse et segment statique d’une plaque.

(S) : domaine du plan (xoy) : plaque
φ(x, y) : densité superficielle
M : masse de cette plaque
Mx et My sont les moments statiques de la plaque par rapport aux axes (ox) et (oy).

83
Les coordonnées du centre de masse G sont x=My/M ; y=Mx/M
Moment d’inertie par rapport aux axes (ox), (oy)

84

Exercices:

  1. (S) : plaque limitée par y=Sinx ; OA où A(3,14/2;1) de densité φ(x,y)=xy.
    Trouvez les coordonnées du centre de masse.
  2. Calculez le moment d’inertie du carré de côté a par rapport à l’axe qui passe par sa son sommet et qui est perpendiculaire au plan du carré.
2 décembre 2021
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