Série de Laurent

Soit ƒ(Z) une fonction de classe eⁿ sur un voisinage de a appartenant à C, considérons les deux séries suivantes:

Considérons la série obtenue en faisant la somme des séries (1) et (2) lorsque toutes les deux sont convergentes on obtient:

S est une série convergente dont le domaine de convergence est:

D: couronne de centre a et de rayon r et R
(S) est appelée série de Laurent de ƒ(z)

Calcul des coefficients de S₂

On montre que:

Vocabulaire

La série (1) est appelée partie principale de la SoL.

• La série (2) est appelée partie régulière de la SoL.
• Si la partie principale de la SoL contient m termes, alors on dit que z=a est un pôle d’ordre m
• Si la partie principale de la SoL contient une infinité de termes alors on dit que z est inférieure ou égale à a est un point singulier essentiel.

Applications

Développer en série Laurent ƒ(z)=1/(z-1)(z-3) suivant les suivants les puissances de z dans la couronne 1<|z|<3

Indication:

Si |h|<1 alors 1/(1-h) = 1+h+h²+h³+…

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Intégrales de fonctions complexes

Différentielle d’une fonction complexe

Soit f une fonction complexe de classe C¹ dans un voisinage de Z₀. Posons ƒ(z)=U(x,y)+iV(x,y) où u et v sont de classe C¹ dans un voisinage de (x₀,y₀).
Alors le développement limité à l’ordre 1 de ƒ(z) au voisinage de Z₀ est:

dƒ est différentielle si le deuxième facteur du deuxième membre tend vers zéro.

Intégration

f étant de classe C’ sur un domaine D, soit un arc de courbe alors:

Propriétés

Propriété 1

Propriété 2

Si Ø est une primitive de f au voisinage de Z₀ alors:

Propriété 3

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Les résidus

Soit a un pôle d’ordre n d’une fonction ƒ(z) définie en série de Laurent.
On appelle résidus de ƒ(z) en a noté Resƒ(z); le réel:

Ou encore, si ƒ(z)=N(z)/F(z) admet un pôle x=a d’ordre 1 alors Resf(z)=N(a)/D(a)

Théorème fondamentale

Applications