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Fonction de répartition : loi des grands nombres

Cas discret

On appelle variable aléatoire une grandeur qui peut prendre diverses valeurs selon les résultats d’une épreuve. Pour chaque résultat élémentaire, sa valeur étant unique. Une variable aléatoire est dite discrète si elle ne peut prendre qu’un nombre de valeur.

Fonction ou loi de répartition

On appelle fonction ou loi de répartition d’une variable aléatoire discrète toutes les valeurs possibles de ces variables et leur probabilité : pi

Exemple de loi de répartition:

VariablesXx1x2xxxN
Probabilité en fréquenceP(x)P1P2PiPN

Exercice:

Dans une loterie de 10000 tickets, il y’a un lot de 10€, 10 lots de 1€ et 100 lots de 0,3€.
Trouvez la loi de répartition du gain aléatoire X pour le possesseur d’un seul ticket: faire le tableau.

Résolution:

X0€0,3€1€10€
P0,980,010,0010,0001

Espérance mathématique variante et écart type

Définitions

Soit une épreuve r ayant une fonction de répartition (r, X) ou X est la variable aléatoire associée à la fonction.

Xi123n
P(x = xi)P1P2P3Pn

On définit les temps suivants:

  • Espérance mathématique ou moyenne statistique liée à Xi notée E(X) ou (X). On a:
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  • Variance ou dispersion statique notée V(x):
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  • Ecart type ou dérivation standard ou écart quadratique moyen:
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Autres formules

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Application à un processus de Bernoulli

Soit un processus de Bernoulli à N répétition et à probabilité de succès égal à P.

Xi012N
P(X=Xi)C0NqNC1NqN-1pC2NqN-2p2CNNpN

On montre que pour ce processus:

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Théorème d Laplace local

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Théorème de Laplace intégral

Proposons-nous de calculer la probabilité ßN[m1<m<m2;P] pour que en N épreuve de Bernoulli N tend vers l’infini, le nombre de répétition d’un événement A de probabilité P soit compris entre m1 et m2 alors
ßN[m1<m<m2;P] = PN[m1<m<m2] = PN[tm1<t<tm2 = Ø0(tm2)-Ø0(tm1)
(Valeur de Ø0 donnée en tables)


Exercices

Exercice 1:

La probabilité d’atteindre le but en tirant un seul coup de canon est P=0,1.

  • Quelle est la probabilité pour que le but soit atteint au 30 fois en tirant 150 coups de canon.
  • On suppose de P=0,2, on veut que m>20, quel est la probabilité pour que le but soit atteint au plus 20 fois ?

Exercice 2:

Trouvez dans les conditions du processus de Bernoulli, la probabilité pour que l’écart entre la fréquence f=m/n d’un événement A et sa probabilité P(A)=P ne soit pas en valeur absolue supérieure à 0,03.

Résolution de l’exercice 1:

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tm2 = (20-30)/4,89 = -2,06
Ø(tm1) = Ø(-6) = -Ø(6) = -0,5
Ø(tm2) = Ø(-2,04) = -Ø(2,04) = -0,48
Ø0(tm2)-Ø0(tm1) = -0,48 – (-0,5) = 0,02 = 2%
f(X) = f(X0) + (X-X0)/h


Fonction de probabilité

Densité de probabilité

Soit X une variable aléatoire associée à une loi de répartition {x1;P1}. La probabilité P(a<X<b) pour que la valeur prise par x appartenant à ]a; b[ est donnée par la formule:

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Où f(x) est la densité de propagation associée à la loi (xi; Pi).

Probabilités

Si f(x) est la densité de probabilité associée à une valeur aléatoire x alors elle vérifie:

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Espérance mathématique, variance

f(x) est une densité de probabilité associée à x alors

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Fonction de répartition

On appelle fonction de répartition associée à la densité de probabilité f(x), la fonction F:

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Exercice:

On donne la fonction f définit par:

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  • Montrer que f est une densité de probabilité d’une variable.
  • Trouver E(x) et V(x) liée à f(x).

Correction:

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Fonction de répartition normale ou loi normale

Définition

On appelle loi de répartition normale, la loi notée:

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Où fN(x) est la densité de probabilité normale donnée par:

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Conséquences, application

Si une variable aléatoire X suit une loi normale, alors:

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Avec E(x) = m

Exercice:

Une variable aléatoire X d’espérance mathématique E(x)=1,6 et d’écart type (normé) égale à 1, est régie par la loi normale.

  1. Calculer la probabilité qu’a la suite d’une épreuve.
    • x appartenant à ]1; 2[
    • x appartenant à ]1; 3[
  2. Calculer la probabilité qu’à la suite de 4 épreuves, on obtient:
    • au moins une fois x appartenant à [1; 2]
    • exactement deux fois x appartenant à [1; 3]

Solution:

  1. P(1<x<2) = Ø0(2-1,6)/1 – Ø0(1-1,6)/1
    = Ø0(0,4) – Ø0(-0,6) = Ø0(0,4) + Ø0(0,6) car Ø0 impaire
    = 0,1554 + 0,2257
    P = 0,3811
  2. On veut au moins un succès en 4 épreuves (E)
    Contraposé: aucun succès en 4 épreuves (E)
    P(E)=1-P(E) or P(E)=q4=(1-P)4
    P(E)=1-P(E) = 1-[1-P]4 = 1-[1-0,38]4

Loi des grands nombres

Théorème de Bierayme-Chebitcher

Soit une variable aléatoire XN qui dépend du nombre d’épreuves N. L’espérance mathématique E(x), la variance V(x) et un nombre aussi petit que possible.
On montre l’équivalent des 2 formules suivantes:

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Théorème de Bernoulli

Soit N épreuve de Bernoulli pour lesquelles un événement A est obtenu µ fois avec une probabilité (succès) P.

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Exercice

On jette un dé 300 fois. Majorer la probabilité que la fréquence d’arrivée du côté « 6 » s’écarte de moins de 0,05% de la probabilité d’arrivée du côté « 6 ».

2 décembre 2021
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