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Etude des variations et représentation graphique d’une fonction numérique

Sens de variation d’une fonction

Fonction constante

Etant donné f une fonction numérique, f est dite constante sur un intervalle I si et seulement si il existe K appartenant à R tel que quelque soit x appartenant à I f(x)=K

Théorème:

f est une fonction constante si et seulement si f'(x)=0


Fonction croissante

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si f est dérivable c’est-à-dire quelque soit x appartenant à I f'(x) supérieure ou égale à 0


Fonction décroissante

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable c’est-à-dire quelque soit x appartenant à I f'(x) est inférieure ou égale à 0


Fonction monotone

Une fonction est dite monotone si et seulement si elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante.
L’étude du sens de variation d’une fonction consiste à étudier sa croissance ou sa décroissante voire sa constance.
A ce titre les étapes suivantes sont très fondamentales:

  • Le domaine de définition
  • Les limites aux bornes du domaine de définition
  • Le calcul de la fonction dérivée
  • La recherche du signe de la dérivée
  • Le récapitulatif dans un tableau de variation
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Notion d’asymptote

Asymptote verticale

Etant donnée une fonction numérique f et Df, sont domaine de définition soit xo n’appartenant pas à Df

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Alors la droite d’équation xo=x est asymptote verticale à la courbe

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Position de la courbe par rapport à l’asymptote

Pour déterminer la position de la courbe par rapport à l’Asymptote oblique, on étudie le signe de f(x)-y.
Si dans un intervalle donné f(x)-y est négatif, la courbe est au-dessous de l’asymptote.
Si dans un intervalle f(x)-y est positif, la courbe est au-dessus de l’asymptote

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Représentation graphique

Elle se fait dans un repère orthonormé suivant une unité de longueur précise ou non.

La construction des asymptotes

On trace toutes les asymptotes que la courbe présente si possibles.


Les extremums

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, f présente un extremum au point d’abscisse xo appartient à I si et seulement si f'(x) s’annule en xo et change de signe Un extremum est un maximum ou un minimum.
La courbe de f présente un maximum en xo si et seulement si quelque soit x appartenant à f(x) est inférieure ou égale à f(xo)

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La courbe de f admet un minimum en xo si et seulement si f(x) est supérieure ou égale à f(xo)

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Equation de la tangente

Soit xo l’abscisse d’un point Mo de la courbe d’une fonction. L’équation au point M0 est y=f(xo)+f'(xo)(x-xo)

Exemple:

Soit f(x) = 2x2 + x -1 et x0 = 1
Déterminez l’équation de la tangente au point x0=1
y = f(1) + f'(1)(x-1)
f(1) = 2(1)2+ + (1) – 1 = 2 + 1 – 1 = 2
y = 2 + 5(x-1) = 2 + 5x – 5
y = 5x – 3

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Plan d’étude d’une fonction

L’étude d’une fonction jusqu’à la représentation graphique se résume aux points suivants:

  • Le domaine de définition
  • Le calcul des limites aux bornes du domaine
  • L’étude de la continuité et de la dérivabilité
  • Le calcul de la dérivée et son étude de signe
  • Le récapitulatif dans un tableau de variation
  • La détermination des asymptotes
  • La détermination des points remarquables: les extremums, les points d’intersection de la courbe avec les axes, le tableau de valeur
  • Me tracé de la courbe

Exemple1: Cas d’une fonction polynôme

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Exemple 2: Cas d’une fonction homographique

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Exemple 3:

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Discussion du signe et du nombre des solutions d’une équation

On donne une fonction g(x) = ¼x4 – x2
Tracez la courbe de cette fonction et discutez du signe et du nombre de solution de l’équation

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Centre de symétrie et axe de symétrique d’une courbe

Généralités

Soit M(x; y) un point de la courbe Cf de la fonction f. Soit A(a; b) un point quelconque du plan rapporté à un repère orthonormé (o,i,j). Si M a pour coordonnée (X,Y) dans le nouveau repère (A,i,j), on a:
x = a + X
y = b + Y
Dans la relation y=f(x), on remplace y par b+y et x par a+X pour obtenir b+Y=f(a+X) ; Y=f(a+X)-b, cette nouvelle égalité détermine une nouvelle fonction g dans le nouveau repère (A,i,j) où Y=g(X) ; g(X)=f(a+X)-b

Théorèmes:

Si la nouvelle fonction e est impaire c’est-à-dire quelque soit x appartenant à Dg -X appartenant à Dg et g(-X)=-g(X) alors le point A(a;b) est un centre de symétrie de la courbe Cf
Si la nouvelle fonction g est paire c’est-à-dire quelque soit x appartenant à Dg -X appartient à Dg , g(-X)=g(X) alors la droite d’équation x=a est un axe de symétrie de la courbe Cf.


Exemple 1

Montrer que A(0;1) est un centre de symétrique de la courbe de la fonction f définie part f(x)=x3+1
f(x) = x3 + 1 ;  A(0;1)
x = 0 + X
y = 1 + Y
y = f(x) ↔ 1 + Y = f(X)
↔ 1 + Y = X3 + 1 ↔ Y = X3
↔ g(X) = X3
g(-X) = (-X)3 = -X3 = -g(X)
g(-X) = -g(X) alors g est impaire et A(0;1) est un centre de symétrie à la courbe.


Exemple 2

Montrez que la courbe de la fonction f(x)=x2-5x+4 admet un axe de symétrie au point A(5/2;-9/4)
f(x) = x2 – 5x + 4 et A(5/2;-9/4)
x = 5/2 + X
y = -9/4 + y
y = f(x) ↔ -9/4 + Y = f(5/2+X)
↔ -9/4 + Y = (5/2+X)2 – 5(5/2+X) + 4
↔ Y = X2 – 25/2 + 9/4 + 25/4 + 4 ↔ Y = X2
↔ g(X) = X2
g(-X)=(-X)2=X2=g(X) ↔ g(-X)=g(X) alors g est paire et la droite x=5/2 est l’axe de symétrie pour la courbe.

2 décembre 2021
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