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Espace vectoriel et calcul matriciel

Généralités

On définit deux structures d’ensemble: les « groupes » et les « corps ».

134

Définitions

135

Quelques exemples d’espace vectoriel

  1. L’ensemble des matrices carrées d’ordres N est un espace vectoriel sur R (de dimension N2)
  2. L’ensemble des fonctions continues sur une intervalle [a, b] est élément vectoriel sur R.
  3. L’ensemble PN[x] des polynômes en x de degré inférieur ou égal à N est un élément vectoriel sur K de dimension (N+1)

Définition

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Un sous espace vectoriel est lui-même un espace vectoriel.


Système de vecteurs

Soit F={e1,e2,…,eN} une famille de n vecteurs de E. L’objectif est de savoir s’il existe ou non un vecteur eg appartenant à F capable de s’écrire comme combinaison linéaire des autres vecteurs.
Si un tel vecteur existe, alors F est une famille liée (système indépendant)
Sinon , F est une famille libre (système indépendant)

Caractérisation des systèmes libres

La famille F={e1,e2,…,eN} est libre si et seulement si aucun vecteur de F ne peut s’écrire comme combinaison d’un autre.

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Caractère des systèmes liés

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Exercice

139
Pour quelles valeurs de m, le système est libre.

Correction:

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Base et dimension d’un espace vectoriel

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Système générateur

142

Base d’un espace vectoriel

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Dimension

Si ε admet une base de N vecteurs alors on l’appelle la dimension de ε (notée dimε)

Vocabulaire

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Conséquence

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Changement de base

Un espace vectoriel contient une infinité de bases.

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Inversion de matrice:

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Objectif: Effectuer des combinaisons linéaires pour obtenir I3 à gauche : M-1 apparaitra à droite.

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Exercice:

150

Matrice de passage

151

Conséquence:

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Somme directe de sous espace vectoriel

Soit EN un espace vectoriel de dimension N sur K, considérons A un sous espace vectoriel de EN alors:

0 ≤ dimA ≤ N (1)

Somme de sous-espace vectoriel

Si A et B sont deux sous ensembles vectoriels de EN avec dimA=K, dimB=r avec r+K=N (2).
Alors on notera EN=A+B (3)

154

Somme directe de sous ensemble vectoriel

Cas de deux sous ensembles vectoriels de EN

155

Cas de (P) sous ensemble vectoriel de EN

Soit P sous ensembles vectoriel de EN

156
2 décembre 2021
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