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Equations différentielles

Equation différentielle d’ordre 1

On rappelle qu’une équation différentielle est une relation de la forme R[f(n)(x),f(n-1)(x),…,f(x),x)]=0 (E), la résoudre consiste à trouver une ou plusieurs fonctions vérifiant (E) connaissant ou non une solution particulière de (E). Le plus haut degré de f(N) est l’ordre de l’équation différentielle.

Forme générale

Une équation différentielle d’ordre 1 est de la forme y’=f(x, y) (E) est solution de la forme y=G (x: constante).

Equations différentielles séparables

Forme générale y’=f(x)g(y) (E1) ou X0(x)Y0(y)dxX1(x)Y1(y)dy=0 (E2)
Résolution de (E2): On aura:

116

Exemple:

Trouvez la solution particulière de l’équation différentielle:

117

Equation différentielle homogène

Une fonction F(x, y) est homogène d’ordre N si:

118
Soit l’équation différentielle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 où P et Q sont des fonctions homogènes d’ordre N. On amènera (E) sous la forme Y’=f(y/x) et on effectue Y=Kx

Exemple:

Trouvez la solution générale de (x22xy)dx+xydy=0 (E)
P(x,y)=x2+2xy , P(tx,ty)=t2x2+2t2xy=t2P(x,y)
Q(x,y)=xy ; Q(tx,ty)=(tx)(ty)=t2xy=t2P(x,y)
Posons y=Kx (où K et x sont des variables)
dy=Kdx+xdk
(E) : [x2+2x(kx)]dx+x(Kx)[Kdx+xdK]=0
[x2+2Kx2+K2x2]dx+Ks3dK=0
x2(1+2K+K2)dx+Kx3dK=0
(1+2K+K2)dx=-KxdK

119

Equation différentielle linéaire

Une équation différentielle linéaire est une équation de la forme y’+a(x)y=c(x) (E)
On résout ce type d’équation en deux étapes.

1ereétape:

On pose c(x)=0 ; y’++a(x)y=0 (E’)
(E’) est l’équation homogène associée à (E).

22étape:

On utilise une solution particulière de (E’), laquelle est liée à une constante B, on résout alors (E) en considérant B comme une fonction B(x*

Exemple:

Résoudre xy’+2y=x3 (E)
xy’=2y=0

120

Exercice 1:

Résoudre l’équation homogène:

121

Exercice 2:

L’intensité I du courant électrique parcourant un circuit LR obéit à l’équation différentielle LdI/dt+RI=E où E est la f.e.m.
Calculez l’intensité I à l’instant après la mise sous tension (t=0) sachant que E=E0coswt et I=0 lorsque (t=0)

Résolution:

122

A chercher:

  1. y’+Sin(x+y)=sin(x-y)
  2. y’=ex+y+ex-y avec y(0)=0
  3. yy’=ln|y| avec y(2)=1
  4. xy’=xey/x+y avec y(1)=2
  5. xy’-y=x2cosx
  6. 4xy’+3y=-exx4y5

Equations différentielles d’ordre 2

Ce sont les équations différentielle de la forme (y »,y’,y,x)=0 donnant une solution générale R(y,x,c1,c2)=0 (ou de manière implicite y=f(x,c1,c2). Nous étudions 5 types d’équation différentielle.

1ertype: y »=f(y,y’)

Dans ce cas il faut faire le changement de variable. En effet (1)

123

Exemple:

Résoudre les équations différentielles suivantes:

  1. 1+y’2 = yy »
  2. yy »-y’2 = 0

Rappel:

124

Autres types : quelques indications

  1. Type y=xy’+φ(y’) faire y’=P
  2. Type F(x,y’,y »)=0 faire y’=ty
  3. Type F(y »,x)=0 faire 2 intégrations de y »

Equation linéaire (II) à coefficient constant

Ce sont des équations différentielles de la forme a2y »+a1y’+a0y=f(x) (E) où a2, a1, a0 sont constantes, deux cas de solutions de ce type d’équation différentielle:

  • 1e cas: aucune solution particulière connue
  • 2e cas: o, connait une solution particulière

Si aucune solution particulière n’est connue.

1ièreétape: Résolution de l’équation différentielle homogène.
a2y »+a1y’+a0y=0 (E’) on pose y=erx
(E’): a2r2erx+a1rerx+a0erx=0
ers(a2r2+a1r+a0)-0

Equation caractéristique (E,C)

Résolution de (E,C):

  1. Si (E,C) admet deux racines distinctes réelles:

α1 et α2 alors (E’) a pour solution y=C1eαx+C2αx

  1. Si (E,C) admet une racine double, alors (E’) a pour solution:

y = (C1+C2x)eαx

  1. Si (E, C) n’admet pas de solution réelle mais deux solutions

α1±βi complexe alors (E’) a pour solution y=(C1Cosβx+C2Sinβx)eαx

Exemple:

Résoudre y »-4y’+13y=0
r2erx-4rerx+13erx=0
erx(r2-4r+13)=0

Solution:

y=e2x[c1sin3x+c2cos3x]
y=c1y1(x)+c2y2(x)
2eétape: Résolution de l’équation non homogène (E)
Supposons la solution de (E’) de la forme c1y1(x)+c2y2(x), alors la variation des constantes se construit selon le système :
c1 ⟶ c1(x)
c2 ⟶ c2(x)
Et on résout le système:
c’1(x)y1(x)+c’2(x)y2(x)=0
[c’1(x)y’1(x)+c’2(x)y’2(x)=f(x)
Ce système nous permet de déterminer c1(x) et c2(x) et d’en déduire la valeur de la solution générale:
y=c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x)

Exemple:

Résoudre y »-4y’+13y = 2x+1 (E)

Solution:

y=c1e2xsin(3x)+c2e2xcos3x

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Equation différentielle linéaire à coefficient variable (2eordre)

Ce sont des équations de l’une ou l’autre des formes suivantes:
(E1) : a2x2y »+a1xy’+a0y=f1(x)
(E2) : (ax+b)2y »+(ax+b)1y’+a0y=f2(x)

Dans le cas (E1) on effectue le changement de variable (1) : x=et
Dans le cas (E2) ce sera (2) : ax+b=et

Relations remarquables

(1) : x=et avec t=ln(x) ; 1/x=e-t

Remarque:

130

Exemple:

Résoudre x2y »-3xy’+4y=½x3

Problème:

131

Soit à étudier les oscillations d’un point matériel de masse m soumis à l’action d’une force élastique Fe dont la grandeur est proportionnelle à l’écart x du point par rapport à sa position d’équilibre en présence d’une force perturbatrice

E0 = ESinγt

  1. Déterminez l’équation du mouvement de m (k>0)
  2. En déduire l’équation horaire de x(t)
133

A chercher:

  1. x2y »-xy’+y=0
  2. (4x+1)2y »-2(4x-1)y’+8y=0
  3. y »=x2+y avec y(0)=-2 et y'(0)=1
2 décembre 2021
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