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Equation et inéquation du second degré – système d’équation

Equations du second degré

Polynôme du second degré

Un polynôme du second degré est toute application f:R→R qui à toute valeur de x associe f(x)=ax2+bx+c avec a appartenant à R*, b appartenant à R; c appartenant à R.

Mise sous forme canonique d’un polynôme du second degré

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Equation du second degré

On appelle équation du second degré, toute expression de la forme ax2+bx+c=0 avec a appartenant à IR*; b appartenant à R; c appartenant à R

Résolution

La résolution de ce type d’équation est dépendante du discriminant D=b2-4ac

  • Si D<0 , l’équation n’admet aucune racine réelle S=Ø
  • Si D>0 , l’équation admet deux racine distincte:
01
  • Si D=0, l’équation admet une racine
02

Exercice: Résolution d’une équation bicarrée.
x4 – 4x2 – 45 = 0
↔ (x2)2 – 4x2 – 45 = 0
Posons X = x2
X2 – 4X – 45 = 0
D = (-4)2 – 4(-45) = 196 = 142
X1 = ½(4-14) = -5 ; X2 = ½(4+14) = 9
Comme x2 = X
↔ x2 = -5 (impossible)
↔ x2 = 9 équivaut à x = 3 ; x = -3
S = {-3 ; 3}

Signe du polynôme du second degré

Soit le polynôme f(x)=ax2+bx+c avec a différent de 0

  • Si Δ<0 ax2+bx+c est du signe de a pour tout signe réel
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  • Si Δ=0 le polynôme ax2+bx+c est du signe de a
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  • Si Δ>0 le polynôme ax2+bx+c possède 2 racines réelles distincte
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Théorème:

Le polynôme du second degré ax2+bx+c avec Δ>0 est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe contraire de a à l’intérieur.

Somme et produit des racines

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Recherche de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

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Résolution de l’équation paramétrique du second degré

Discutez suivant les valeurs du paramètre m l’existence, le signe des racines de l’équation suivante: (m+4)x2+(2m+5)x+m-2=0

  • Si m+4=0 ; m=-4 l’équation est du premier degré et on a (-4+4)x2+[2(-4)+5]x-4-2=0
    ↔ 0x2-3x-6=0 ↔ x=-2 S= {-2}
  • Si m+4 différent de 0 ; m différent de -4, l’équation est du second degré. Calculons le discriminant.
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Résolution des systèmes linéaires dans IR2 et IR3

Résolution des systèmes linéaires dans R2

Ce sont les systèmes d’équation de la forme:
ax + by + c = 0
a’x + b’y + c’ = 0
Comme méthode de résolution, on distingue:

  • Méthode par substitution
  • Méthode par combinaison
  • Méthode du déterminant ou système de CRAMER

Exemple:

Résoudre dans R2 le système d’équation suivant
3x + 4y = 2
2x + 5y = 1

Méthode par substitution

3x = 2 – 4y ↔ x = (2-4y)/3
2(2-4y)/3 + 5y = 1
↔ 4 – 8y + 15y = 3
↔ 7y = -1
↔ y = -1/7
S = {(6/7 ; -1/7)}

Par comparaison

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Méthode du déterminant ou de CRAMER

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Résolution des systèmes dans R3

Ce sont des systèmes de la forme

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Pour résoudre ce type de système, on distingue comme méthode:

  • Méthode par substitution
  • Méthode du pivot de GAUSS

Méthode par substitution

Exercice 1:

Résoudre dans R3 le système d’équation suivant:

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Exercice 2:

Résoudre dans R3 le système d’équation suivant:

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Méthode du pivot de GAUSS

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Il est question dans cette méthode d’éliminer d’abord l’inconnu x par combinaison dans (E2) et (E3). (E1) étant le pivot. En suite éliminer l’inconnu y dans la dernière équation obtenue, ce qui permet de trouver l’inconnu z. Le système « triangulaire »

Ainsi obtenu permet de trouver les autres inconnues en commençant par la dernière équation puis remonter progressivement jusqu’à la première.

Exemple:

Résoudre dans R3 le système d’équation:

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Inéquation du second degré

Une équation du second degré est une expression de la forme:

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Résolutions:

Exercice 1:

Résoudre dans R l’inéquation:

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Exercice 2:

Résoudre dans R l’inéquation suivante:

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La programmation linéaire

La programmation linéaire est un outil mathématique donc le but est de rechercher la combinaison optimale c’est-à-dire celle qui donne le maximum de satisfaction au moins du coût.
La demande est la suivante:

  • Le choix des inconnus
  • La mise en équation ou inéquation des informations du texte
  • La résolution du problème mathématique

Exemple:

Une entreprise fabrique des fauteuils et des chaises à l’aide de 3 machines A, B, C. Pour fabriquer les machines A et B pendant 1 heure, la machine C pendant 3 heures. Pour fabriquer une chaise, on utilise les machines A et C pendant 2 heures. Mais les machines ne sont ne sont disponibles que 60 heures pour A, 90 heures pour B, 150 heures pour C. Un fauteuil génère un bénéfice de 10.000F et une chaise de 5.000F. Combien faut-il fabriquer de fauteuil dans ces conditions, un bénéfice maximum.

Solution:

1) Choix des inconnues
x → fauteuils ; y → chaises
Soit x le nombre de fauteuil et y le nombre de chaise.

2) Mise en équation de l’information du texte

MachinesFauteuilChaises
Axy inférieur ou égale à 60
Bx2y inférieur ou égale à 90
C3xy inférieur ou égale à 150


3) Résolution du problème mathématique
(D1): x+y=60

x060
y600


(D2): x+2y=90

x090
y450


(D3): 3x+y=150

x050
y1500
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2 décembre 2021
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