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Ensemble des vecteurs

Vecteurs et points du plan

Vecteurs

Soit (A, B) un couple de point, t la translation transformant A en B. L’ensemble des couples (M, N) où N est l’image de M par t est le vecteur AB.

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On appelle plan vectoriel l’ensemble de tous les vecteurs du plan.

Tout vecteur a une infinité de représentant.

Propriété fondamentale

Pour tout point O et tout vecteur, il existe un et un seul point M tel que vecteur de Om égal au vecteur u.

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Propriété:

Les énoncés suivants sont équivalents:

  • Les vecteurs AB=CD signifie ABCD est un parallélogramme.
  • [AD] et [CB] ont même milieu.

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Direction, sens et normal d’un vecteur

On appelle norme de u la distance AB où (AB) est un représentant du vecteur u.

Propriété:

Il existe un et un seul vecteur ayant une direction donnée, un sens donné et une norme donnée.

Calcul vectoriel

Somme des vecteurs

Soit u et V des vecteurs. A, B, C des points tels que AB=u et BC=V, on pose u+V=AC

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Relation de CHASLES

Pour tout point A, B, C

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Inégalité triangulaire

Pour tout vecteur u et v on a:

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Bases et repères

Base de V

Coordonnées d’un vecteur

Soit i et j 2 vecteurs non colinéaires.
Pour tous vecteur u il existe un vecteur et un seul couple de nombre réel (x; y) tel que u=xi+yj
Deux vecteurs sont colinéaires (u; v) dans les 2 cas suivants:

  • Lorsque l’un d’eux au moins est nul.
  • Lorsqu’ils ont même direction.

Soit u et v 2 vecteurs. Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel λ.

Vecteur directeur d’une droite

On appelle vecteur directeur d’une droite (D) tout vecteur non nul u ayant même direction que (D).
On dit que (D) est dirigé par u

Tous couple (i; j) de vecteur non colinéaire est appelé base de V, est l’ensemble de vecteur du plan.
Soit (i; j) et u un vecteur; le seul couple non réel (x; y) vérifient u=xi+yj, est appelé couple de coordonnée de u dans la base (i;j)

Propriété:

Soit (i; j) une base de V, λ un nombre réel u et v 2 vecteurs.

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Base orthonormée

Deux vecteurs sont orthogonaux si leur direction est perpendiculaires ou si l’un au moins est nul.
Une base est dite orthonormée lorsqu’elle est constituée de 2 vecteurs unitaires orthogonaux.
(i, j) est orthonormé lorsqu’elle est constituée de 2 vecteurs unitaires orthogonaux (i,j) orthonormées si vecteur i est perpendiculaire au vecteur j, et ||i||=||j|=1

Expression de la norme dans une base orthonormée

Soit u (; y) dans une base orthonormée, on a:

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Déterminant de 2 vecteurs

Soit (i; j) une base de V, u(x; y) et u(x’; y’) 2 vecteurs.
On appelle déterminant de (u; u’) relativement à la base (i; j) le nombre réel:

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Théorème:

Soit (i; j) une base de V 2 vecteurs sont colinéaire si et seulement si leur déterminant est nul.

2 décembre 2021
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