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Dérivation de fonctions

Généralités

Dérivabilité: dérivée en un point

Une fonction f est dérivable en un point x0 appartenant à Df si

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f'(x0) est la dérivée de f en x0.
Si la fonction dérivée f'(x)= (dƒ/dx) est continue en tout point de I, ƒ est dite  » dérivable sur I' »

Différentielle

La différentielle d’une fonction f en x0, notée (dƒ)x0 est l’approximation que l’on fait de f(x) au voisinage de f(x0) par une droite linéaire (dƒ)=a(dx), a si le cœfficient directeur de cette droite linéaire et la dérivée de f en x0.

Interprétation géométrique de la dérivée

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Table des dérivées usuelles

(I): Soient f et g deux fonctions dérivables sur I.

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(II): Soit U une fonction de x dérivable sur I (u’=du/dx)

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Aux calculs de limites « règle de l’Hospital »

Soit f et g deux fonction de classe CNI

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Théorème des accroissements finis et de Rolle

Théorème des accroissements finis

Si une fonction f est dérivable sur [a, b] et x1, x2 appartenant à [a, b] avec x1<x2 alors

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La tangente à la courbe au point d’abscisse W est parallèle à (M1M2)

Théorème de Rolle

Soit une fonction dérivable sur [a, b]=I et x1, x2 dans I qui sont les racines consécutives de l’équation f(x)=0

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Dérivation d’une fonction de deux variables

Continuité d’une fonction de deux variables

Soit F: R2→R ; alors F est continue en (x0, y0)

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Différentielle / Dérivées partielles

La différentielle de F: IR2→IR existe si les dérivées partielles de F par rapport à x et à y existent et sont continues. On aura:

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Exemple:

Soit F(x, y)=x+y2x-1/ey2+1

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2 décembre 2021
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