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Cinématique (complément)

La cinématique est l’étude des mouvements des corps sans la prise en considération des causes qui les produisent. Un mouvement est une variation par rapport au temps de la position dans l’espace d’un solide. Le mouvement d’un système ne se définitif que par rapport à un point ou solide de référence appelé référentiel. L’objectif en mouvement est mobile.


Cinématique du point

Pour déterminer à chaque instant la position d’un mobile on convient de choisir une origine liée à un repère d’espace et un instant ou une date initiale liée à un repère de temps.

Le vecteur position

Dans le repère (o, i, j, k) la position d’un point M à un instant t est déterminée par le vecteur OM=xi+yj+zk appelé vecteur position x, y et z coordonnées du point M sont fonction du temps.

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Ceci est appelé équation paramétrique ou encore équation horaire.
En éliminant t dans les équations horaires, on obtient une relation qui traduit l’ensemble des positions successivement occupées par le mobile pendant sont déplacement: On l’appelle la trajectoire
Le mouvement est dit rectiligne si sa trajectoire est une droite curviligne, si elle est circulaire, elliptique, parabolique… L’unité des coordonnées d’espace x(t), y(t), z(t) est le mètre, l’unité de temps est la seconde.

Le vecteur vitesse

On montre que les coordonnées du vecteur vitesse instantané sont obtenues en dérivant celles du vecteur position

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Le vecteur vitesse renseigne sur la vitesse à chaque instant t du mobile. Son module v est exprimé en m/s
v = (x2+y2+z2)½

Le vecteur accélération

L’accélération instantanée caractérise les variations du vecteur vitesse. Les coordonnées du vecteur accélération sont obtenues par dérivation du vecteur vitesse.

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Le mouvement est uniformément varié

Le vecteur accélération peut être décomposé en deux vecteurs orthogonaux an et at appelée accélération normale et accélération tangentielle. Les vecteurs an et at sont portés par deux vecteurs unitaires orthogonaux n et t, d’un repère de Fresnel.

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Le vecteur t est tangent à la trajectoire au point M et le vecteur n lui est normal au même point.

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Remarque:

  • Si la trajectoire est une droite an=0 donc a=at
  • Si la trajectoire est un cercle, le rayon de courbure Þ=R

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Les mouvements rectilignes

Lorsque la trajectoire d’un mouvement est une droite, on dit que le mouvement set rectiligne OM=f(t)i. Le vecteur position possède une coordonnée d’espace appelée abscisse ou élongation.

Le mouvement rectiligne uniforme

Un mobile M est en mouvement rectiligne uniforme si son vecteur vitesse reste constant à chaque instant.
a = 0
v = constante
x = vt + x0

Mouvement rectiligne uniformément varié

Un mobile M effectue un mouvement rectiligne uniformément varié si la trajectoire est une droite et son vecteur accélération constant pendant tout le mouvement
a = constante m/s2
v = at + v0
x = ½at2 + v0t + x0
x0 = abscisse initial
v0 = vitesse initiale

Remarque:

Si a est l’accélération d’un point M en mouvement v1 et x1 ses vitesses et élongations à l’instant t1 v2 et x2 ses vitesses et élongation à l’instant t2 on montre que v22-v21=2a(x2-x1)

Mouvement rectiligne sinusoïdal

C’est un mouvement rectiligne au cours duquel un mobile M parcourt un segment de droite de longueur déterminée et de façon alternée. L’élongation x est une fonction sinusoïdale de temps et l’équation horaire est de la forme x=xmCos(ωt+Þ) y=ym(ωt+Þ)

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  • xm ou ym est appelé amplitude: c’est l’élongation maximale
  • ωt+Þ la phase à l’instant t. C’est la valeur angulaire de l’élongation
  • Þ est la phase initiale
  • ω est la pulsation du mouvement

La période est par définition l’intervalle de temps qui sépare deux passages consécutifs du mobile au même point et allant dans le même sens T=1/f

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Cette dernière est appelée équation différentielle donc une solution particulière sinusoïdale est de la forme x=xmCos(ωt+Þ)


Les mouvements circulaires

Un mobile M est animé d’un mouvement circulaire si sa trajectoire est un cercle ou un arc de cercle. La position du mobile est à chaque instant repérée soit par le vecteur position Om=xi+yj dans le repère orthonormé oij, soit par son abscisse curviligne, soit enfin par l’angle qui varie en fonction du temps.

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Mouvement circulaire uniforme

Un mouvement est dit circulaire uniforme lorsque le module directeur vitesse est constant durant tout le déplacement

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Mouvement circulaire uniformément varié

Un mouvement circulaire est uniformément varié si l’accélération angulaire est une constante

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Par analogie au mouvement rectiligne uniforme varié:

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Mouvement circulaire sinusoïdal

Un mouvement circulaire est dit sinusoïdal si son élongation angulaire est une fonction angulaire de temps:

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1 décembre 2021
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