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Calcul d’intégrale

Fonction primitive

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b].
On appelle primitive de f sur [a, b] une fonction F(ƒ) telle que dF(ƒ)(x)/dx=ƒ(x)

Propriété:

Soit f continue sur [a, b], alors deux primitives de f notées F1 et F2 sont telles que F1(x) et F2(x) = constante quelque soit x appartenant à [a,b]. Géométriquement, si y=F1(x) et Z=F2(x) sont deux primitives de f sur [a, b] de courbes respective C’1 te C2 alors les tangentes en x0 à C1 et à C2 sont parallèles.

Corollaire

Si ƒ est continue sur [a, b] alors f admet une infinité de primitive sur [a, b].


Notion d’intégrale définit

Soit f une fonction sur [a, b] et F une primitive de f sur [a, b], alors l’intégrale définie de ƒ(x) sur [a, b] est le réel

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Propriétés

On suppose f continue sur [a, b]

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Limite d’une somme de Riemann

Approximation de Riemann

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et Cƒ sa courbe représentative sur un R.O.N (x, o, y). Nous nous proposons de calculer l’aire du trapèze curviligne limité par Cƒ, l’axe ox et deux parallèles (D1) et (D2) d’équation respectives x=a et a=b

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Si A est l’aire du trapèze curviligne aABb on peut approcher la valeur de S, somme des n boucles subdivisent aABb. Chaque baud verticale est considérée comme rectangle élémentaire de base xi+1-xi et de hauteur ƒ(xi).
Chaque bande élémentaire a donc une surface élémentaire. La surface de la ligne en escalier

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Théorème de la moyenne

Théorème

Si f est contenue dans un intervalle [a, b], alors:

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Exercice:

  1. Démontrez le théorème de la moyenne à l’aide du théorème des accroissements finis.
  2. L’intensité d’un courant alternatif a pour expression I=ImaxSin360t/T. Calculez la valeur moyenne de carré de l’intensité du courant pendant la période T. Calculez ainsi ma valeur efficace du courant I.

Intégrales impropres

Intégrales à supports non bornés

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ii) Par extension de i) si g est continue sur R

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Conséquences

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Intégrale à support ouvert et bornée

Soit f une fonction continue sur un support ouvert et bornée du type ]a,k[ ou ]a,k[ ou [a,k[ alors:

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Intégrales en coordonnées polaires

Passage des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires

Caractérisation

Un pont M(x0, y0) du plan xoy est entièrement caractérisé par son module et son argument.

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x0, y0 sont des fonctions de deux variables indépendantes.

Caractérisation de la longueur d’un arc du plan

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ds un élément de la portion de courbe C.
On a ds (différentielle de l’arc C)

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Longueur d’une courbe en coordonnées polaires

On a pu montrer que

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2 décembre 2021
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