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Calcul des incertitudes

Les grandeurs: la mesure des grandeurs

Une grandeur est tout ce qui prend dans des conditions biens définies une valeur déterminée qui peut varier (croître ou décroître) si les conditions elles-mêmes varies. Exemple: une longueur, une section, une intensité de courant.
On exprime la valeur d’une grandeur par un nombre qui est le résultat de la mesure. Mesurer une grandeur c’est chercher combien de fois elle contient une grandeur de même espèce choisie comme unité, exemple: soit à mesurer une longueur de fil AB, le mètre étant l’unité de longueur si le résultat est de 5 alors la longueur AB=5m.


La valeur exacte et la valeur approchée d’une grandeur

Soit à mesurer une certaine grandeur A une longueur par exemple si l’on recommence plusieurs fois la mesure avec le même soin, on trouve généralement les nombres légèrement différents. On a aucune raison d’affirmer que c’est l’un plutôt l’autre qui est la valeur exacte de A. C’est-à-dire que le nombre a résultat de la mesure d’une grandeur A n’est qu’une valeur approchée de A.
Si ae est la valeur exacte de a, la différence §=a-ae est appelée erreur absolue de la mesure. Cette erreur résulte souvent des causes diverses:

Les erreurs systématiques

Elles ont pour causes:

  • Le choix de la méthode de mesure
  • L’opérateur peut se tromper sur la lecture du nombre de division d’une échelle
  • L’appareil de mesure

Les erreurs accidentelles

Elles peuvent provenir:

  • De l’opérateur qui se trompe d’échelle de mesure.
  • De l’appareil de mesure (présence des champs magnétiques et influence de la température).
  • Les erreurs peuvent provenir du montage.

En somme les résultats d’une mesure comportent toujours des erreurs.


L’incertitude absolue

L’erreur absolue §a n’étant pas connue, on dit se contenter d’en rechercher une limite supérieure Da appelée incertitude absolue telle que |§a|<=Da.
Soit A une grandeur invariable, on mesure plusieurs fois la valeur de a et on trouve les nombres suivants: a1, a2, a3,… an tel que a1<a2<a3<an
On prend pour valeur exacte A la valeur approchée an/2 qui est en effet la valeur médiane des différents nombres obtenus lors de la mesure. On a donc: an/2= (a1+an)/2
L’incertitude absolue sera donc l’écart entre cette valeur médiane et les valeurs extrêmes.
On a donc Da = an/2 – a1 ; Da = an – an/2
Exemple: Les résultats de la mesure du segment AB, ont données des nombres compris entre 209,5mm et 210,5mm.
La valeur approchée sera donc égale:
l0 = (209,5 + 210,5)/2 ↔ l0 = 210mm
Et l’incertitude absolue sera donc:
Dl = 210,5 – 210 = 0,5mm
l = l0 ± Dl
l = 210 ± 0,5mm


L’incertitude relative

On appelle erreur relative, le rapport §a/ae.
Comme §a et ae ne sont pas connus, on se sert souvent d’une limite supérieur appelée incertitude relative et donnée par la relation Da/a, avec a: valeur approchée de ae et Da l’incertitude absolue de a.
On se sert de l’incertitude relative pour caractériser la précision d’une mesure.


Les calculs d’incertitudes

Théorème des incertitudes absolues

Soit A1, A2, A3… An, n grandeur tel que G = A1 + A2 + A3 + … + An.
On a: Dg = Da1 + Da2 + Da3 + … + Dan
L’incertitude absolue d’une somme algébrique de nombres incertains est égale à la somme arithmétique des incertitudes absolues de ces nombres.

Théorème des incertitudes relatives

Soit A1, A2, A3, … An, n grandeurs tels que B1, B2 … Bn
G1 = A1 x A2 x A3x … x An
G2 = A1xA2xA3x…xAn/B1xB2xB3x…xBn
Dg1/g1 = Da1/a1 + Da2/a2 + … + Dan/an
Dg2/g2 = Da1/a1 + Da2/ + … + Dan/an + Db1/a1 + Db2/b2 + Dbn/bn

28 novembre 2021
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