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Application du barycentre et du produit scalaire

Alignement des points

Soient deux points A et B, pour démontrer qu’un point G appartient à (AB), il faut trouver des nombres réels tels que G soit le barycentre de 2 points pondérés.

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On déduit que le point O est le barycentre des points pondérés (N, 4) (B, 2).

Conclusion:

Les points B, O et N sont alignés.


Concours des droites

Soient les points A, B, C, D, E, F… pour montrer que les droites (AB), (CD), (EF)… sont con,courantes, il suffit de démontrer qu’il existe un point P qui appartient à chacune de ces droites.

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Les droites (AP), (BN) et (CM) sont concourantes si et seulement si le barycentre O des points pondérés (A, 1); (B, 2) et (C, 3) appartient à chacune d’elle. D’après l’exemple précédent chacun des points M, N, P est le barycentre partiel de (A,1); (B,2) et (C,3) d’où O est le barycentre de (M,3); (C,3) de (N,4) et (B,2) et enfin le barycentre de (A,1); (P,5)

Conclusion:

O appartient à chacun des droites (AP); (BN), (CN)


Les lignes de niveau

Etant donné une application f du plan P dans R et K un nombre réel. On appelle ligne de niveau K de f l’ensemble des points donc l’image par f est K.


Détermination des lignes de niveau A. Ligne de niveau de l’application M→AM.AB

Etant donné deux points A et B du plan et f l’application de P dans R qui à tout point M associe AM.AB. La ligne de niveau (LK) est l’ensemble des points M du plan tel que f(M)=K c’est-à-dire AM.AB=K.

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Exemple 1:

On donne AB=3 ; K=3
Calculez la ligne de niveau (L-3)

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Exemple 2:

AB=2 ; K=5 Déterminez la ligne de niveau (L5)

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Exemple 3:

AB=4 ; K=0 H est un point tel que AH=0. H se confond donc avec le point A. Les vecteurs AM et AB sont orthogonaux

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Ligne de niveau de l’application M→MA2+MB2

Soit deux points A et B du plan et un nombre réel K la ligne de niveau (LK) est l’ensemble de solution de l’équation d’inconnue M

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Exemple:

On donne AB=3 ; K=5. Déterminez la ligne de niveau (L5)

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Ligne de niveau de l’application M→MA.MB

Etant donné 2 points AB et un nombre réel K, la ligne de niveau (LK) est l’ensemble de solution de l’équation d’inconnue K

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Les lignes de niveau de l’application M→MA2-MB2

Soient 2 points A, B du plan et un nombre réel K, la ligne de niveau (LK) est l’ensemble de solution de l’équation d’inconnue MA2-MB2=K

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Exemple:

On donne AB=5 ; K=10. Déterminez la ligne de niveau (L10)

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2 décembre 2021
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