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Théorèmes et lois
Problématique de l’analyse des circuits
Il s’agit de déterminer les courants dans un ou plusieurs branches ainsi que les tensions aux bornes d’un ou plusieurs éléments du circuit. Plusieurs méthodes permettent généralement d’aboutir à la réponse mais il faut être capable lors d’une analyse de circuit de choisir la bonne méthode pour éviter les calculs longs et ennuyeux.
Les lois fondamentaux de l’analyse des circuits: Loi de Kirchhoff
Loi de Kirchhoff des mailles
La somme algébrique des tensions dans une maille est égale à zéro.
Loi de Kirchhoff des noeuds
I2 + I5 = I1 + I3 + I4
La somme des courants qui entrent dans un noeud est égale à la somme de courant qui en ressort.
Analyse de circuit par les lois de Kirchhoff
On attribue à chaque maille un sens de parcourt de courant arbitraire. On compte le nombre de noeud (n=3). On écrit n-1 équation de noeud. Deux équations possibles.
Noeud A: i1 = i2 + i3
noeud B: i3 = i4 + i5
On compte le nombre de branche (b=5), on écrit b-n+1 équation de maille
↔ 5 – 3 + 1 = 3
Ce système se résout par les méthodes d’algèbre linéaire.
En électronique l’utilisation systématique des lois de Kirchhoff est lourde, en effet la complexité des chemins rencontrés rend parfois impossible l’analyse des circuits par les lois de Kirchhoff. Il est souvent préférable d’utiliser un certain nombre de théorème simplifiant considérablement les calculs de circuit.
Transformation série parallèle et parallèle série
Notion de générateur de tension et courant
Générateur de tension
- Générateur de tension idéale:
- Générateur de tension réelle:
Générateur de courant
- Générateur de courant idéal:
- Générateur de courant réel:
On montre que:
Transformation série parallèle et parallèle série
Diviseur de tension
Généralité
Diviseur de courant
Généralité
Théorème de Thevenin
Enoncé du théorème
Tous réseau linéaire actif présentant des connexions de sorties A B comme le montre la figure1 ci-dessus peut être remplacé par une source de tension f.e.m.Eth et de résistance interne f.e.m.Rth.
La f.e.m.Eth est égale à la tension à vide aux bornes du dipôle AB.
La résistance interne Rth est obtenue en résistance passive toutes les sources autonomes.
Rendre passive une source c’est court-circuiter toutes les sources de tension et ouvrir toutes les sources de courant.
Calcul de Eth
Calcul de Rth
Calculons RTh
Exercice d’application
Calcul de Eth
Calcul de Rth
Le théorème de NORTON
Enoncé du théorème
Tout réseau linéaire actif présente des connexions de sortie A et B, comme le montre la figure3 peut être remplacée par une source de courant IN en parallèle avec une résistance interne RN. Le courant nominal IN est égal au courant du court-circuit du dipôle AB.
La résistance interne est obtenue en rendant passive toutes les sources autonomes.
Calcul de IN
Calcul de RN
Théorème de superposition
Enoncé du théorème
Le théorème de superposition dit que l’intensité de courant dans une branche ou la tension aux bornes d’un dipôle appartenant à un circuit comportant 2 ou plusieurs sources autonomes ou indépendantes est égale à la somme algébrique des intensités ou des tensions que ferait passer séparément chaque source en rendant passive les autres sources.
Théorème de Kenelly : transformation étoile (Y) triangle (A) et triangle étoile
Méthode des mailles indépendantes
Lorsqu’un circuit comporte b branches et n noeuds, l’analyse systématique par les lois de Kirchhoff requièrent b-n+1 équations de maille et n-1 équations de noeud. Ce qui fait b, équations à b inconnues. On peut diminuer considérablement ce nombre d’équation en utilisant la méthode des mailles indépendante.
On choisit des mailles indépendantes (b-n+1). A chacun de ces mailles on affecte un courant de maille. On écrit alors la loi de Kirchhoff des mailles pour chacun de ces mailles.
Théorème de Millman
Analyse par les lois de Kirchhoff (en alternatif)
Loi de Kirchhoff des mailles
La somme algébrique des tensions dans une maille est égale à zéro.
La loi de Kirchhoff des noeuds
I2 + I5 = I1 + I3 + I4
La somme des courants qui entrent dans un noeud est égale à la somme de courant qui en ressort.
On attribue à chaque maille un sens de parcourt de courant arbitraire. On compte le nombre de noeud (n=2). On écrit n-1 équation de noeud. Deux équations possibles.
Noeud A: i1 = i2 + i3
On compte le nombre de branche (b=3), et on écrit b-n+1 équation de maille
transformation série parallèle et parallèle série (en alternatif)
On montre que les deux schémas suivants sont équivalents.
Avec I=E/Z
On se propose de calculer la tension UZ3
Diviseur de tension et de courant (en alternatif)
Diviseur de tension
Cas général
Diviseur de courant
Cas général
Théorème de Thevenin (en alternatif)
Enoncé du Théorème
Tous réseau linéaire actif présentant des connexions de sorties A B comme le montre la figure1 ci-dessus peut être remplacé par une source de tension Eth et de l’impédance interne Zth.
La f.e.m Eth est égale à la tension à vide aux bornes du dipôle AB.
La résistance interne Rth est obtenue en résistance passive toutes les sources autonomes.
Rendre passive une source c’est court-circuiter toutes les sources de tension et ouvrir toutes les sources de courant.
Calcul de ZTh
Théorème de Norton (en alternatif)
Enoncé du théorème
Tous réseau linéaire actif présentant des connexions de sortie A et B comme le montre la figire1 et figure 2. Peut être remplacé par une source de courant IN branchée en parallèle avec une impédance ZN.
- Le courant nominal IN est égal au courant du court circuit du dipôle AB
- L’impédance interne Zn est obtenue en rendant passive toutes les sources autonomes.
On montre que les théorème de Thevenins et de Norton sont équivalents. Il suffit de faire une transformation série parallèle, parallèle série.
Calcul de IN
Calcul de ZN
Théorème de superposition
Enoncé du théorème
Le théorème de superposition stipule que l’intensité de courant dans une branche ou la tension aux bornes d’un dipôle appartenant à un circuit comportant 2 ou plusieurs sources autonomes ou indépendantes est égale à la somme algébrique des intensités ou des tensions que ferait passer séparément chaque source en rendant passive les autres sources.
